Bacite kocku, bacite novčić, zavrtite kotač i dogodi se nešto korisno: apstraktna ideja poput „jedan od šest“ pretvara se u nešto što učenici mogu vidjeti, raspravljati o tome i mjeriti. Zato je vjerojatnost jedan od najprijateljskijih kutaka matematičkog kurikuluma za praktičnu nastavu. Učenici u razredima izgrađenim oko aktivnih zadataka postižu bolje rezultate od svojih vršnjaka koji pohađaju samo predavanja, a jedna analiza 225 studija otkrila je da su učenici na tradicionalnim predavanjima imali 1.5 puta veću vjerojatnost da će pasti od onih u učionicama s aktivnim učenjem (Freeman i sur., 2014.).
Igre u nastavku su popis igara za kasino večer prepisan za učionicu. Svaka od njih imenuje koncept vjerojatnosti koji podučava, cilj učenja, okvirni raspon ocjena i kako ga primijeniti na satu. Nitko se ne kladi novcem. Isplata je razumijevanje.
Koncepti vjerojatnosti koje ove igre uče
Prije igara, evo karte. Većina standarda sekundarne vjerojatnosti svodi se na nekoliko velikih ideja:
- Prostor uzorka: nabrajanje svakog mogućeg ishoda.
- Teorijska vs. eksperimentalna vjerojatnost: što bi se trebalo dogoditi na papiru u odnosu na ono što se dogodi kada pokušate.
- Neovisni vs. zavisni događaji: mijenja li jedan rezultat vjerojatnost sljedećeg.
- Očekivana vrijednost: prosječan rezultat tijekom mnogih pokušaja i osnova pametne odluke.
- Pravednost, kombinacije i permutacije: je li svaki ishod jednako vjerojatan i kako prebrojati načine na koje se događaj može dogoditi.
Svaka igra je označena idejom na koju cilja, tako da je možete ubaciti u pravu lekciju.
Zagrijavajući eksperimenti: teorijska vs. eksperimentalna vjerojatnost
1. Nagomilavanje bacanja novčića
Koncept: teorijska vs. eksperimentalna vjerojatnost, zakon velikih brojeva. Razredi 5-8. Svaki učenik baca novčić 20 puta i zapisuje glave. Pojedinačno, rezultati su neuredni: jedan učenik dobije 13 glava, drugi 7. Zatim se zbroji ukupan broj za cijeli razred. Kako se broj bacanja penje na stotine, ukupni udio glava približava se 50%. Cilj: učenici vide da mali uzorak može izgledati jednostrano dok dugoročna stopa odgovara teorijskoj vjerojatnosti.
2. Pokazivanje zbroja dviju kockica
Koncept: prostor uzorka, distribucije vjerojatnosti. Razredi 6-9. Pitajte koji je zbroj najvjerojatniji kada bacite dvije kocke: 2, 7 ili 12. Većina učenika pogriješi. Neka bace dvije kocke 30 puta, zbroje zbrojeve, a zatim izrade stupčasti dijagram razreda. Sedam pobjeđuje jer ima šest načina da se pojavi (1+6, 2+5, 3+4 i njihove obrnute) od 36 ishoda, dok 2 i 12 imaju samo po jedan. Cilj: povezati navedeni prostor uzorka sa stvarnom distribucijom.
3. Podijelite bodove: ružičasta je dvostruko vjerojatnija
Koncept: razlomci i postoci, dijelovi cjeline. Razredi 4-5. U ovoj dobi učenici tek počinju shvaćati da 100 predstavlja cjelinu (100%) i uče osnovne razlomke, stoga neka sažetost bude jednostavna i niskorizična. Postavite pravilo jednostavnim jezikom, poput "Ružičasta bi trebala biti dvostruko vjerojatnija od zelene, a narančasta i crna trebaju imati jednake šanse", i neka svaki učenik podijeli 100 bodova na četiri boje tako da njegova podjela zadovolji tu mjeru. Ništa se ne boduje i ne postoji jedan točan odgovor, tako da učenici mogu slobodno eksperimentirati umjesto da se smrznu zbog pogrešnog pogađanja. Cilj: pretvoriti apstraktni omjer u konkretan postotak cjeline i provjeriti obrazloženje tako da vidite je li zbroj svakog učenika zapravo 100 i podudara li se s navedenim odnosom.
Slajd "Podijeli bodove" na AhaSlidesu omogućuje nastavniku da postavi četiri kategorije i skup od 100 bodova; svaki učenik šalje svoju podjelu, a rezultati se prikazuju uživo kao tortni grafikon, tako da razred može odmah usporediti podjele s navedenim pravilom i razgovarati o tome tko je bio najbliži i zašto.
4. Zavrtite kotač: pošteno nasuprot nepoštenom
Koncept: pošteni nasuprot nepoštenim ishodima, razlomci i omjeri. Razredi 4-7. Započnite s kotačem podijeljenim na dijelove jednakih boja, a zatim prijeđite na onaj gdje jedna boja zauzima polovicu. Učenici predviđaju, vrte se mnogo puta i uspoređuju. Cilj: izraziti vjerojatnost kao dio cjeline i osjetiti razliku između kotača s jednakom vjerojatnošću i ponderiranog kotača.
Preuzmite besplatni predložak kotača vjerojatnosti pokrenuti upravo ovu igru, učitelj protiv razreda, s već ugrađenim izgledima u svaku rundu.
5. Izvlačenje karata: sa i bez zamjene
Koncept: neovisni vs. zavisni događaji, uvjetna vjerojatnost. Razredi 8-10. Izvucite kartu, zapišite je i pitajte za vjerojatnost asa pri sljedećem izvlačenju. Učinite to dva puta: jednom vratite kartu, jednom je ne izvucite. S izmjenom, izgledi ostaju 4/52 svaki put (neovisno). Bez nje, špil se smanjuje, a izgledi se mijenjaju (ovisno). Brza runda Uno igre ističe istu poantu: nakon što karte napuste hrpu, mijenja se ono što preostaje za izvlačenje. Cilj: razlikovati neovisne od zavisnih događaja.
Zagonetke vjerojatnosti koje potiču raspravu
6. Problem Montyja Halla
Koncept: uvjetna vjerojatnost. Razredi 9-12. Troja vrata, jedna nagrada. Učenik bira vrata, otkrivate gubitnička vrata od ostala dva, a zatim nudite zamjenu. Trebaju li je prihvatiti? Zamjena pobjeđuje dva od tri puta, u što gotovo nitko ne vjeruje dok razred to ne simulira 30 puta i ne prebroji. Cilj: pokazati da nove informacije ažuriraju vjerojatnost i da intuicija može zavarati.
7. Pohlepna svinja
Koncept: očekivana vrijednost, donošenje odluka pod rizikom. Razredi 6-9. Cijeli razred ustaje. Bacate jednu kockicu i svi skupljaju bodove, ali ako bacite 1, svi koji još stoje gube bodove za rundu. Igrači sjedaju kada žele iskoristiti ono što imaju. Matematika: još jedno bacanje se isplati dok vaš nekorišteni rezultat ne prijeđe oko 20, gdje očekivani dobitak postaje negativan. Cilj: koristiti očekivanu vrijednost kao usmjerivač do prave odluke.
8. Je li ova igra poštena?
Koncept: pravednost, uspoređivanje vjerojatnosti. Razredi 7-10. Dajte parovima pravilo poput „Igrač A pobjeđuje ako je zbroj dviju kockica paran, igrač B ako je neparan“ ili „A pobjeđuje s umnoškom većim od 12“. Učenici igraju, sumnjaju na neravnotežu, a zatim to dokazuju pomoću uzorka. Cilj: procijeniti pravednost dokazima, a ne intuicijom, a zatim redizajnirati nepravedno pravilo kako bi se uravnotežilo.
9. Paradoks rođendana
Koncept: komplementarna vjerojatnost, kombinacije. Razredi 9-12. Pitajte koliko vam ljudi treba prije nego što dvoje učenika podijeli rođendan, što je vjerojatnije nego ne. Odgovor, 23, zapanji većinu razreda. Zatim provjerite svoju učionicu: s 30 učenika vjerojatnost je oko 70%. Trik je u brojanju načina na koje se rođendani mogu razlikovati i oduzimanju od 1. Cilj: koristite komplementarno brojanje kako biste došli do iznenađujućeg rezultata.
Klasične igre, ponovno pročitane kao lekcije o vjerojatnosti
10. Yahtzee
Koncept: kombinacije, vjerojatnost specifičnih ishoda. Razredi 6-9. Osim zabave, Yahtzee je i sustav vjerojatnosti. Kolika je vjerojatnost da će se pri prvom bacanju dobiti tri iste karte? Treba li igrač zadržati dva para ili juriti za skalom? Cilj: procijeniti vjerojatnost ciljanih ishoda i koristiti ih za donošenje odluka.
11. Monopol, verzija vjerojatnosti
Koncept: primijenjene distribucije. Razredi 7-10. Budući da se krećete na temelju zbroja dviju kockica, neka polja padaju puno češće od drugih, a izlazak iz zatvora vuče promet prema narančastim i crvenim. Neka učenici predvide vruća polja, a zatim zbroje bacanja tijekom igre. Cilj: primijeniti raspodjelu dviju kockica na poznatu ploču.
12. bingo
Koncept: slučajna izvlačenja bez zamjene, omjeri. Razredi 4-7. Kako se brojevi izvlače, a ne vraćaju, vjerojatnost da će sljedeći poziv pomoći vašoj karti mijenja se svaki put. Zamolite učenike da procijene svoje šanse za liniju prije i nakon što je 10 brojeva izvučeno. Cilj: zaključiti o smanjenju broja jednako vjerojatnih izvlačenja.
13. Kamen-škare-papir
Koncept: jednako vjerojatni ishodi, neovisni događaji. Razredi 5-8. Kod slučajne igre svako bacanje ima šansu jedan prema tri, a runde su neovisne: jučerašnja pobjeda ne govori ništa o današnjoj. To su ujedno i blaga vrata u teoriju igara: postoji li pobjednička strategija protiv doista slučajnog protivnika? Cilj: prepoznati jednako vjerojatne, neovisne ishode.
Pokrenite ih uživo s AhaSlidesima
Dva dijela ovih aktivnosti se obavljaju ručno: generiranje poštene slučajnosti i objedinjavanje rezultata svih dovoljno brzo da se o njima raspravlja. AhaSlides obrađuje oboje s prednje strane prostorije.
- Spinner kotač provodi nasumična izvlačenja, birajući učenika, broj ili boju, tako da je okretanje vidljivo cijelom razredu i dokazivo nenamješteno.
- Ankete uživo Prikupite podatke eksperimenta u sekundama. Svaki student šalje broj glava ili zbroj kockica, stupčasti grafikon se izrađuje uživo, a razred odmah uspoređuje eksperimentalni rezultat s teorijskim predviđanjem.
- Slajdovi kviza pretvorite koncepte u rundu bodovanja, poput „Kolika je vjerojatnost bacanja 7?“, s ljestvicom koja održava živahnu raspravu o pravednosti ili očekivanoj vrijednosti.
Budući da se odgovori automatski bilježe i zapisuju, lekciju posvećujete razmišljanju, a ne zbrajanju, a združeni podaci iz razreda upravo su ono što omogućuje primjenu zakona velikih brojeva.
Spajanje
Vjerojatnost je najlakše poučavati kada učenici mogu gledati kako se događa. Odaberite dvije ili tri od ovih igara za jednu cjelinu: jedan zagrijavajući eksperiment, jednu zagonetku koja razbija intuiciju i jednu poznatu igru ponovnog čitanja matematike. Imenujte koncept svaki put, prikupljajte stvarne podatke i neka jaz između teorije i eksperimenta vodi nastavu.
Reference
Freeman, S., Eddy, SL, McDonough, M., Smith, MK, Okoroafor, N., Jordt, H. i Wenderoth, MP (2014). Aktivno učenje povećava uspjeh učenika u znanosti, inženjerstvu i matematici. Zbornik radova Nacionalne akademije znanosti, 111(23), 8410-8415. https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1319030111
