Rzuć kostką, rzuć monetą, zakręć kołem, a wydarzy się coś pożytecznego: abstrakcyjna idea, taka jak „jeden do sześciu”, zmienia się w coś, co uczniowie mogą zobaczyć, o czym mogą dyskutować i co mogą zmierzyć. Właśnie dlatego rachunek prawdopodobieństwa jest jednym z najbardziej przyjaznych zakątków programu nauczania matematyki w nauczaniu praktycznym. Uczniowie na zajęciach opartych na zadaniach aktywnych osiągają lepsze wyniki niż ich rówieśnicy, którzy uczą się wyłącznie na wykładach, a analiza 225 badań wykazała, że uczniowie na tradycyjnych wykładach byli 1.5 raza bardziej narażeni na niepowodzenie niż ci na zajęciach z aktywnym uczeniem się (Freeman i in., 2014).
Poniższe gry to lista gier na wieczór kasynowy przepisana na potrzeby lekcji. Każda z nich określa pojęcie prawdopodobieństwa, którego uczy, cel nauczania, przybliżony przedział ocen i sposób zastosowania na lekcji. Nikt nie stawia pieniędzy. Nagrodą jest zrozumienie.
Koncepcje prawdopodobieństwa, których uczą te gry
Przed igrzyskami, oto mapa. Większość standardów prawdopodobieństwa wtórnego sprowadza się do kilku głównych założeń:
- Przestrzeń próbna: wypisując wszystkie możliwe wyniki.
- Prawdopodobieństwo teoretyczne a prawdopodobieństwo eksperymentalne: co powinno się wydarzyć na papierze kontra to co się stanie, gdy spróbujesz to zrobić.
- Zdarzenia niezależne i zależne: czy jeden wynik zmienia szanse na kolejny.
- Wartość oczekiwana: średni wynik z wielu prób i podstawa mądrej decyzji.
- Sprawiedliwość, kombinacje i permutacje: czy każdy wynik jest równie prawdopodobny i jak liczyć sposoby, w jakie może nastąpić dane zdarzenie.
Każda gra jest oznaczona etykietą przedstawiającą prezentowany pomysł, dzięki czemu możesz ją przypisać do odpowiedniej lekcji.
Eksperymenty rozgrzewkowe: prawdopodobieństwo teoretyczne a prawdopodobieństwo eksperymentalne
1. Rzut monetą
koncepcja: prawdopodobieństwo teoretyczne i eksperymentalne, prawo wielkich liczb. Klasy 5-8. Każdy uczeń rzuca monetą 20 razy i zapisuje orły. Indywidualne wyniki są chaotyczne: jeden uczeń wyrzuca 13 orłów, inny 7. Następnie zsumujmy wyniki całej klasy. Wraz ze wzrostem liczby rzutów do setek, łączny odsetek orłów ustabilizuje się na poziomie bliskim 50%. Cel: uczniowie zauważą, że mała próbka może wydawać się asymetryczna, podczas gdy długoterminowy wskaźnik jest zgodny z prawdopodobieństwem teoretycznym.
2. Rozegranie dwóch rzutów sumą kości
koncepcja: przestrzeń próby, rozkłady prawdopodobieństwa. Klasy 6-9. Zapytaj, która suma jest najbardziej prawdopodobna po rzucie dwiema kostkami: 2, 7 czy 12. Większość uczniów zgaduje źle. Niech rzucą dwiema kostkami 30 razy, zsumują sumy, a następnie stworzą klasowy wykres słupkowy. Siedem wygrywa, ponieważ ma sześć możliwości wystąpienia (1+6, 2+5, 3+4 i ich odwrotności) spośród 36 wyników, podczas gdy 2 i 12 mają tylko po jednym. Cel: połączenie przestrzeni próby z rzeczywistym rozkładem.
3. Podziel punkty: różowy ma dwa razy większe prawdopodobieństwo
koncepcja: ułamki i procenty, części całości. Klasy 4-5. W tym wieku uczniowie dopiero zaczynają rozumieć, że 100 reprezentuje całość (100%) i uczą się podstawowych ułamków, więc trzymaj się prostego i prostego zadania. Sformułuj prostą zasadę, na przykład: „Różowy powinien mieć dwa razy większe szanse niż zielony, a pomarańczowy i czarny powinny mieć równe szanse” i poproś każdego ucznia o podzielenie 100 punktów na cztery kolory, tak aby podział spełniał tę zasadę. Nic nie jest punktowane i nie ma jednej poprawnej odpowiedzi, więc uczniowie mogą swobodnie eksperymentować, zamiast marnieć z powodu błędnego odgadnięcia. Cel: przekształcić abstrakcyjny stosunek w konkretny procent całości i sprawdzić, czy podział każdego ucznia rzeczywiście sumuje się do 100 i jest zgodny z podaną zależnością.
Slajd AhaSlides „Split the Points” umożliwia nauczycielowi skonfigurowanie czterech kategorii i puli 100 punktów; każdy uczeń zgłasza swój własny podział, a wyniki są na bieżąco generowanie w postaci wykresu kołowego, dzięki czemu klasa może natychmiast porównać podziały w stosunku do podanej reguły i omówić, kto był najbliżej i dlaczego.
4. Zakręć kołem: uczciwe czy nieuczciwe
koncepcja: wyniki sprawiedliwe i niesprawiedliwe, ułamki i proporcje. Klasy 4-7. Zacznij od koła podzielonego na równe sekcje w kolorze, a następnie przejdź do takiego, w którym jeden kolor zajmuje połowę. Uczniowie przewidują, kręcą wiele razy i porównują. Cel: wyrażenie prawdopodobieństwa jako ułamka całości i odczucie różnicy między kołem o równych szansach a kołem o ważonych szansach.
Pobierz darmowy szablon koła prawdopodobieństwa aby przeprowadzić tę konkretną grę, nauczyciel kontra klasa, z kursami już wbudowanymi w każdą rundę.
5. Losowanie kart: ze zwracaniem i bez zwracania
koncepcja: zdarzenia niezależne i zależne, prawdopodobieństwo warunkowe. Klasy 8-10. Dobierz kartę, zanotuj ją i zapytaj o szansę na asa przy następnym dobieraniu. Zrób to dwa razy: raz odkładając kartę, raz nie odkładając. Przy odkładaniu karty szanse zawsze pozostają na poziomie 4/52 (niezależne). Bez tego talia się kurczy, a szanse zmieniają (zależne). Szybka runda Uno ma ten sam cel: gdy karty opuszczą stos, zmienia się to, co pozostało do dobrania. Cel: odróżnić zdarzenia niezależne od zależnych.
Zagadki prawdopodobieństwa, które pobudzają dyskusję
6. Problem Monty'ego Halla
koncepcja: prawdopodobieństwo warunkowe. Klasy 9-12. Troje drzwi, jedna nagroda. Uczeń wybiera drzwi, Ty wskazujesz przegrywające drzwi spośród dwóch pozostałych, a następnie oferujesz zamianę. Czy powinien ją przyjąć? Zamiana wygrywa w dwóch na trzy przypadki, w co prawie nikt nie wierzy, dopóki klasa nie przeprowadzi symulacji 30 razy i nie policzy. Cel: pokazać, że nowe informacje aktualizują prawdopodobieństwo, a intuicja może wprowadzać w błąd.
7. Chciwa świnia
koncepcja: wartość oczekiwana, podejmowanie decyzji w warunkach ryzyka. Klasy 6-9. Cała klasa wstaje. Rzucasz jedną kostką i wszyscy zgarniają punkty, ale jeśli wyrzucisz 1, każdy, kto nadal stoi, traci punkty w tej rundzie. Gracze siadają, gdy chcą odłożyć to, co mają. Matematyka: warto rzucać jeszcze raz, aż nieodłożony wynik przekroczy około 20, gdzie oczekiwany zysk staje się ujemny. Cel: wykorzystać wartość oczekiwaną do podjęcia prawdziwej decyzji.
8. Czy ta gra jest uczciwa?
koncepcja: uczciwość, porównywanie prawdopodobieństw. Klasy 7-10. Podaj parom regułę, taką jak „Gracz A zdobywa punkty, jeśli suma oczek na dwóch kostkach jest parzysta, Gracz B, jeśli jest nieparzysta” lub „A wygrywa przy iloczynie powyżej 12”. Uczniowie grają, podejrzewają nierównowagę, a następnie udowadniają ją za pomocą przestrzeni próby. Cel: ocena uczciwości na podstawie dowodów, a nie intuicji, a następnie przeprojektowanie nieuczciwej reguły, aby ją zrównoważyć.
9. Paradoks urodzinowy
koncepcja: prawdopodobieństwo uzupełniające, kombinacje. Klasy 9-12. Zapytaj, ile osób potrzebujesz, zanim dwie osoby będą obchodzić urodziny tego samego dnia, co jest bardziej prawdopodobne. Odpowiedź, 23, zaskakuje większość klas. Następnie sprawdź swoją salę: przy 30 uczniach prawdopodobieństwo wynosi około 70%. Sztuką jest policzenie, ile różnych sposobów mogą mieć urodziny, i odjęcie od 1. Cel: użycie liczenia dopełniającego, aby uzyskać zaskakujący wynik.
Klasyczne gry, czytane na nowo jako lekcje prawdopodobieństwa
10. Jahtz
koncepcja: kombinacje, prawdopodobieństwo określonych wyników. Klasy 6-9. Poza zabawą, Yahtzee to również algorytm prawdopodobieństwa. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia trójki w pierwszym rzucie? Czy gracz powinien zatrzymać dwie pary, czy dążyć do strita? Cel: oszacować prawdopodobieństwo docelowych wyników i wykorzystać je do podejmowania decyzji.
11. Monopol, wersja probabilistyczna
koncepcja: stosowane dystrybucje. Klasy 7-10. Ponieważ poruszasz się na sumie dwóch kostek, niektóre pola trafiają znacznie częściej niż inne, a wyjście z więzienia powoduje ruch w kierunku pól pomarańczowych i czerwonych. Poproś uczniów o przewidzenie gorących pól, a następnie zliczenie trafień w grze. Cel: zastosowanie rozkładu dwóch kostek do znanej planszy.
12. bingo
koncepcja: losowania bez zwracania, współczynniki. Klasy 4-7. Ponieważ liczby są losowane i nie są zwracane, prawdopodobieństwo, że kolejne losowanie pomoże Twojej karcie, zmienia się za każdym razem. Poproś uczniów o oszacowanie prawdopodobieństwa wylosowania 10 liczb przed i po wylosowaniu. Cel: uzasadnienie kurczącej się puli losowań o jednakowym prawdopodobieństwie.
13. Kamień, papier, nożyce
koncepcja: równie prawdopodobne wyniki, zdarzenia niezależne. Klasy 5-8. W grze losowej każdy rzut ma szansę jeden do trzech, a rundy są niezależne: wczorajsza wygrana nic nie mówi o dzisiejszej. To również delikatne przejście do teorii gier: czy istnieje strategia wygrywająca przeciwko całkowicie losowemu przeciwnikowi? Cel: rozpoznanie równie prawdopodobnych, niezależnych wyników.
Uruchom je na żywo za pomocą AhaSlides
Dwie części tych aktywności są trudne do wykonania ręcznie: generowanie sprawiedliwej losowości i szybkie łączenie wyników wszystkich uczestników, aby można je było omówić. AhaSlides zajmuje się obydwoma tymi czynnościami z przodu sali.
- Kołowrotek przeprowadza losowanie, wybierając ucznia, liczbę lub kolor, tak aby losowanie było widoczne dla całej klasy i można było udowodnić, że nie było ustawione.
- Ankiety na żywo Zbierz dane eksperymentalne w kilka sekund. Każdy uczeń przesyła wynik liczenia lub sumy rzutów kostką, wykres słupkowy jest generowany na bieżąco, a klasa na bieżąco porównuje wynik eksperymentu z teoretyczną prognozą.
- Slajdy quizu przekształcić koncepcje w rundę punktowaną, np. „Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia 7?”, z tabelą wyników, która ożywi debatę na temat uczciwości lub oczekiwanej wartości.
Ponieważ odpowiedzi są automatycznie przechwytywane i przedstawiane na wykresie, możesz poświęcić lekcję na rozumowanie, a nie na liczenie, a dane zebrane w ramach wspólnej klasy to właśnie to, co sprawia, że prawo wielkich liczb ma zastosowanie.
Łączenie tego
Rachunek prawdopodobieństwa najłatwiej jest nauczać, gdy uczniowie mogą obserwować jego działanie. Wybierz dwie lub trzy z tych gier na lekcję: jeden eksperyment na rozgrzewkę, jedną łamigłówkę, która przełamuje intuicję, i jedną znaną grę, w której powtórzysz matematykę. Za każdym razem nazywaj pojęcie, zbieraj rzeczywiste dane i pozwól, aby różnica między teorią a eksperymentem była kluczowa dla nauczania.
Referencje
Freeman, S., Eddy, SL, McDonough, M., Smith, MK, Okoroafor, N., Jordt, H. i Wenderoth, MP (2014). Aktywne uczenie się poprawia wyniki uczniów w naukach ścisłych, inżynierii i matematyce. Proceedings of the National Academy of Sciences, 111(23), 8410-8415. https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1319030111
