การทอยลูกเต๋า การโยนเหรียญ การหมุนวงล้อ ล้วนก่อให้เกิดสิ่งที่มีประโยชน์: แนวคิดนามธรรมอย่างเช่น “หนึ่งในหก” กลายเป็นสิ่งที่นักเรียนสามารถมองเห็น โต้แย้ง และวัดผลได้ นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมความน่าจะเป็นจึงเป็นหนึ่งในส่วนของหลักสูตรคณิตศาสตร์ที่เหมาะสมที่สุดสำหรับการสอนแบบลงมือปฏิบัติ นักเรียนในชั้นเรียนที่เน้นการทำกิจกรรมจะมีผลการเรียนดีกว่านักเรียนที่เรียนแบบบรรยายเพียงอย่างเดียว และจากการวิเคราะห์งานวิจัย 225 ชิ้น พบว่านักเรียนที่เรียนแบบบรรยายแบบดั้งเดิมมีโอกาสสอบตกมากกว่านักเรียนที่เรียนในห้องเรียนแบบลงมือปฏิบัติถึง 1.5 เท่า (Freeman et al., 2014)
เกมด้านล่างนี้คือรายการเกมคาสิโนที่เขียนใหม่สำหรับใช้ในห้องเรียน แต่ละเกมจะระบุแนวคิดเรื่องความน่าจะเป็นที่สอน วัตถุประสงค์การเรียนรู้ ระดับคะแนนโดยประมาณ และวิธีการนำไปใช้ในบทเรียน ไม่มีใครเดิมพันเงิน ผลตอบแทนคือความเข้าใจ
แนวคิดเรื่องความน่าจะเป็นที่เกมเหล่านี้สอน
ก่อนเริ่มเกม นี่คือแผนที่ มาตรฐานความน่าจะเป็นรองส่วนใหญ่สรุปได้เป็นแนวคิดหลักเพียงไม่กี่ข้อ:
- พื้นที่ตัวอย่าง: ระบุผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด
- ความน่าจะเป็นเชิงทฤษฎีเทียบกับความน่าจะเป็นเชิงทดลอง: สิ่งที่ควรเกิดขึ้นตามทฤษฎี กับ สิ่งที่เกิดขึ้นจริงเมื่อลองทำดู
- เหตุการณ์อิสระเทียบกับเหตุการณ์ขึ้นอยู่กัน: ไม่ว่าผลลัพธ์หนึ่งจะเปลี่ยนแปลงโอกาสของผลลัพธ์ถัดไปหรือไม่
- ค่าที่คาดหวัง: ผลลัพธ์เฉลี่ยจากการทดลองหลายครั้ง และเป็นพื้นฐานของการตัดสินใจอย่างชาญฉลาด
- ความเป็นธรรม การจัดกลุ่ม และการเรียงสับเปลี่ยน: ไม่ว่าผลลัพธ์ทุกอย่างจะมีโอกาสเกิดขึ้นเท่ากันหรือไม่ และจะนับจำนวนวิธีที่เหตุการณ์หนึ่งๆ สามารถเกิดขึ้นได้อย่างไร
แต่ละเกมจะมีป้ายกำกับระบุแนวคิดที่เกมนั้นมุ่งเป้าหมายไว้ เพื่อให้คุณสามารถนำไปใช้ในบทเรียนที่เหมาะสมได้
การทดลองเตรียมความพร้อม: ความน่าจะเป็นเชิงทฤษฎีเทียบกับความน่าจะเป็นเชิงทดลอง
1. การกองซ้อนจากการโยนเหรียญ
แนวคิด: ความน่าจะเป็นเชิงทฤษฎีเทียบกับความน่าจะเป็นเชิงทดลอง กฎของจำนวนมาก เกรด 5-8 นักเรียนแต่ละคนโยนเหรียญ 20 ครั้งและบันทึกจำนวนครั้งที่ได้หัว ผลลัพธ์ของแต่ละคนอาจแตกต่างกันไป เช่น นักเรียนคนหนึ่งได้ 13 ครั้ง อีกคนได้ 7 ครั้ง จากนั้นจึงนำผลรวมของทั้งชั้นเรียนมารวมกัน เมื่อจำนวนครั้งที่โยนเหรียญเพิ่มขึ้นเป็นหลายร้อยครั้ง สัดส่วนรวมของจำนวนครั้งที่ได้หัวจะเข้าใกล้ 50% วัตถุประสงค์: เพื่อให้นักเรียนเห็นว่าตัวอย่างขนาดเล็กอาจดูไม่สมดุล ในขณะที่อัตราในระยะยาวจะตรงกับความน่าจะเป็นทางทฤษฎี
2. การดวลผลรวมลูกเต๋า 2 ลูก
แนวคิด: ปริภูมิของตัวอย่าง, การแจกแจงความน่าจะเป็น เกรด 6-9 ถามว่าผลรวมใดมีโอกาสเกิดขึ้นมากที่สุดเมื่อคุณทอยลูกเต๋า 2 ลูก: 2, 7 หรือ 12 นักเรียนส่วนใหญ่เดาผิด ให้พวกเขาทอยลูกเต๋า 2 ลูก 30 ครั้ง รวบรวมผลรวม แล้วสร้างแผนภูมิแท่งของชั้นเรียน ผลรวมของ 7 มีโอกาสเกิดขึ้นมากที่สุด เพราะมีโอกาสเกิดขึ้น 6 แบบ (1+6, 2+5, 3+4 และแบบกลับกัน) จากผลลัพธ์ทั้งหมด 36 แบบ ในขณะที่ 2 และ 12 มีโอกาสเกิดขึ้นเพียงแบบละ 1 แบบเท่านั้น วัตถุประสงค์: เชื่อมโยงปริภูมิของตัวอย่างที่ระบุไว้กับการกระจายตัวจริง
3. แบ่งคะแนน: สีชมพูมีโอกาสเป็นสองเท่า
แนวคิด: เศษส่วนและเปอร์เซ็นต์ คือส่วนต่าง ๆ ของทั้งหมด เกรด 4-5 ในวัยนี้ นักเรียนเพิ่งเริ่มเข้าใจว่า 100 หมายถึงจำนวนเต็ม (100%) และกำลังเรียนรู้เศษส่วนพื้นฐาน ดังนั้นควรใช้คำพูดที่เข้าใจง่ายและไม่กดดัน ตั้งกฎง่ายๆ เช่น "สีชมพูควรมีโอกาสเป็นสองเท่าของสีเขียว และสีส้มกับสีดำควรมีโอกาสเท่ากัน" แล้วให้นักเรียนแต่ละคนแบ่งคะแนน 100 คะแนนให้กับสีทั้งสี่สี โดยให้สัดส่วนการแบ่งนั้นตรงกับกฎ ไม่มีการให้คะแนนและไม่มีคำตอบที่ถูกต้องเพียงคำตอบเดียว ดังนั้นนักเรียนสามารถทดลองได้อย่างอิสระแทนที่จะกังวลกับการเดาผิด เป้าหมาย: เปลี่ยนอัตราส่วนนามธรรมให้เป็นเปอร์เซ็นต์ที่เป็นรูปธรรมของจำนวนเต็ม และตรวจสอบเหตุผลโดยดูว่าการแบ่งของนักเรียนแต่ละคนรวมกันได้ 100 และตรงกับความสัมพันธ์ที่ระบุไว้หรือไม่
AhaSlidesสไลด์ 'Split the Points' ช่วยให้ครูสามารถตั้งค่าหมวดหมู่ทั้งสี่และคะแนนรวม 100 คะแนนได้ นักเรียนแต่ละคนจะส่งการแบ่งคะแนนของตนเอง และผลลัพธ์จะแสดงผลแบบเรียลไทม์ในรูปแบบแผนภูมิวงกลม ทำให้ชั้นเรียนสามารถเปรียบเทียบการแบ่งคะแนนกับกฎที่กำหนดไว้ได้ทันที และพูดคุยกันว่าใครได้คะแนนใกล้เคียงที่สุดและเพราะเหตุใด
4. หมุนวงล้อ: ยุติธรรมหรือไม่ยุติธรรม
แนวคิด: ผลลัพธ์ที่ยุติธรรมและไม่ยุติธรรม เศษส่วน และอัตราส่วน เกรด 4-7 เริ่มต้นด้วยวงล้อที่แบ่งออกเป็นส่วนสีเท่าๆ กัน จากนั้นเปลี่ยนไปใช้วงล้อที่สีเดียว占据ครึ่งหนึ่ง นักเรียนคาดเดา หมุนหลายๆ ครั้ง และเปรียบเทียบ วัตถุประสงค์: แสดงความน่าจะเป็นในรูปเศษส่วนของทั้งหมด และรู้สึกถึงความแตกต่างระหว่างวงล้อที่มีโอกาสเท่ากันกับวงล้อที่มีน้ำหนักมากกว่า
ดาวน์โหลดเทมเพลตวงล้อหมุนความน่าจะเป็นฟรี เพื่อจัดการแข่งขันเกมนี้ขึ้นมาอย่างแม่นยำ คือ ครูปะทะนักเรียน โดยมีอัตราต่อรองกำหนดไว้แล้วในแต่ละรอบ
5. การจั่วไพ่: แบบมีและไม่มีการคืนไพ่
แนวคิด: เหตุการณ์อิสระเทียบกับเหตุการณ์ขึ้นอยู่กัน ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข เกรด 8-10 จั่วไพ่หนึ่งใบ จดบันทึก แล้วถามถึงโอกาสที่จะได้เอซในการจั่วครั้งต่อไป ทำซ้ำสองครั้ง: ครั้งแรกโดยใส่ไพ่กลับเข้าไปในกอง ครั้งที่สองโดยไม่ได้ใส่ไพ่กลับเข้าไป การได้เอซจะคงเดิมที่ 4/52 ทุกครั้ง (เหตุการณ์อิสระ) แต่ถ้าไม่ใส่ไพ่กลับเข้าไป จำนวนไพ่ในกองจะลดลง และโอกาสที่จะได้เอซจะเปลี่ยนไป (เหตุการณ์ขึ้นอยู่กัน) การเล่นเกมอูโน่สักรอบก็แสดงให้เห็นถึงประเด็นเดียวกันนี้: เมื่อไพ่หายไปจากกอง จำนวนไพ่ที่เหลือให้จั่วก็จะเปลี่ยนไป วัตถุประสงค์: แยกแยะความแตกต่างระหว่างเหตุการณ์อิสระและเหตุการณ์ขึ้นอยู่กัน
ปริศนาความน่าจะเป็นที่จุดประกายการอภิปราย
6. ปัญหาของมอนตี้ ฮอลล์
แนวคิด: ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข เกรด 9-12 มีประตูสามบาน รางวัลเดียว นักเรียนเลือกประตูหนึ่งบาน คุณเปิดเผยประตูที่แพ้จากอีกสองบาน แล้วเสนอให้เปลี่ยนประตู พวกเขาควรเลือกเปลี่ยนหรือไม่? การเปลี่ยนประตูมีโอกาสชนะสองในสามครั้ง ซึ่งแทบไม่มีใครเชื่อจนกระทั่งชั้นเรียนจำลองสถานการณ์นี้ 30 ครั้งและนับจำนวนครั้ง วัตถุประสงค์: เพื่อแสดงให้เห็นว่าข้อมูลใหม่จะอัปเดตความน่าจะเป็น และสัญชาตญาณอาจทำให้เข้าใจผิดได้
7. หมูตะกละ
แนวคิด: ค่าที่คาดหวัง การตัดสินใจภายใต้ความเสี่ยง เกรด 6-9 ทั้งห้องยืนขึ้น คุณทอยลูกเต๋าหนึ่งลูก แล้วทุกคนจะสะสมคะแนน แต่ถ้าทอยได้เลข 1 ใครที่ยังยืนอยู่จะเสียคะแนนในรอบนั้น ผู้เล่นจะนั่งลงเมื่อต้องการเก็บคะแนนที่ได้มา การคำนวณ: การทอยลูกเต๋าอีกครั้งจะคุ้มค่าจนกว่าคะแนนที่ยังไม่ได้เก็บจะเกินประมาณ 20 ซึ่งหลังจากนั้นผลตอบแทนที่คาดหวังจะติดลบ วัตถุประสงค์: ใช้ค่าที่คาดหวังเป็นแนวทางในการตัดสินใจในสถานการณ์จริง
8. เกมนี้ยุติธรรมหรือไม่?
แนวคิด: ความเป็นธรรม การเปรียบเทียบความน่าจะเป็น เกรด 7-10 กำหนดกติกาให้คู่ผู้เล่น เช่น “ผู้เล่น A ได้คะแนนถ้าผลรวมของลูกเต๋า 2 ลูกเป็นเลขคู่ ผู้เล่น B ได้คะแนนถ้าผลรวมเป็นเลขคี่” หรือ “A ชนะเมื่อผลรวมมากกว่า 12” ให้นักเรียนเล่น แล้วสงสัยว่ามีความไม่สมดุล จากนั้นพิสูจน์ด้วยปริภูมิของตัวอย่าง เป้าหมาย: ตัดสินความยุติธรรมด้วยหลักฐาน ไม่ใช่ความรู้สึก แล้วออกแบบกติกาที่ไม่ยุติธรรมใหม่เพื่อให้เกิดความสมดุล
9. ปรากฏการณ์ความขัดแย้งเรื่องวันเกิด
แนวคิด: ความน่าจะเป็นเสริม, การจัดหมู่ เกรด 9-12 ลองถามดูว่าต้องมีคนกี่คนถึงจะมีโอกาสที่คนสองคนจะมีวันเกิดเดียวกัน คำตอบคือ 23 ซึ่งทำให้หลายคนในห้องเรียนตกใจ จากนั้นลองตรวจสอบในห้องเรียนของคุณเองดู: ถ้ามีนักเรียน 30 คน โอกาสจะอยู่ที่ประมาณ 70% เคล็ดลับคือการนับวิธีที่วันเกิดของแต่ละคนแตกต่างกัน และลบออกจาก 1 เป้าหมาย: ใช้การนับแบบเสริมเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่น่าประหลาดใจ
เกมคลาสสิก เมื่อนำมาอ่านใหม่ในฐานะบทเรียนเกี่ยวกับความน่าจะเป็น
10. ยัทซี
แนวคิด: การรวมกัน ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์เฉพาะเจาะจง เกรด 6-9 นอกเหนือจากความสนุกแล้ว ยาห์ทซี (Yahtzee) ยังเป็นเครื่องมือคำนวณความน่าจะเป็นอีกด้วย โอกาสที่จะทอยได้ไพ่สามใบเหมือนกันในการทอยครั้งแรกมีมากน้อยแค่ไหน? ผู้เล่นควรเก็บไพ่สองคู่ไว้หรือพยายามทอยให้ได้ไพ่เรียง? เป้าหมาย: ประเมินโอกาสของผลลัพธ์ที่ต้องการและนำมาใช้ในการตัดสินใจ
11. โมโนโพลี เวอร์ชันความน่าจะเป็น
แนวคิด: การแจกแจงประยุกต์ เกรด 7-10 เนื่องจากการเคลื่อนที่ขึ้นอยู่กับผลรวมของลูกเต๋า 2 ลูก ทำให้บางช่องมีโอกาสถูกเหยียบมากกว่าช่องอื่นๆ และการออกจากคุกจะดึงดูดให้คนไปเหยียบช่องสีส้มและสีแดงมากขึ้น ให้นักเรียนคาดเดาช่องที่มีโอกาสถูกเหยียบมากที่สุด จากนั้นนับจำนวนครั้งที่ลงช่องต่างๆ ในระหว่างเกม วัตถุประสงค์: ประยุกต์ใช้การแจกแจงของลูกเต๋า 2 ลูกกับกระดานที่คุ้นเคย
12 การเล่นชนิดหนึ่ง
แนวคิด: การสุ่มตัวอย่างโดยไม่ใส่คืน อัตราส่วน เกรด 4-7 เมื่อมีการจับหมายเลขออกไปแล้วแต่ไม่มีหมายเลขใดถูกส่งคืน โอกาสที่หมายเลขถัดไปจะช่วยหมายเลขในไพ่ของคุณจะเปลี่ยนแปลงไปทุกครั้ง ขอให้นักเรียนประเมินโอกาสที่จะได้หมายเลขนั้นก่อนและหลังหมายเลขถูกจับออกไปครบ 10 หมายเลข วัตถุประสงค์: ฝึกทักษะการคิดวิเคราะห์เกี่ยวกับจำนวนหมายเลขที่มีโอกาสถูกจับได้เท่าๆ กันซึ่งลดลงเรื่อยๆ
13. เป่า ยิง ฉุบ
แนวคิด: ผลลัพธ์ที่มีโอกาสเกิดขึ้นเท่าๆ กัน เป็นเหตุการณ์อิสระต่อกัน เกรด 5-8 ในการเล่นแบบสุ่ม การโยนแต่ละครั้งมีโอกาสหนึ่งในสาม และแต่ละรอบเป็นอิสระต่อกัน: ชัยชนะเมื่อวานไม่ได้บ่งบอกอะไรเกี่ยวกับชัยชนะในวันนี้ นอกจากนี้ยังเป็นการเปิดประตูสู่ทฤษฎีเกมอย่างนุ่มนวล: มีกลยุทธ์ใดที่จะชนะคู่ต่อสู้แบบสุ่มอย่างแท้จริงหรือไม่? วัตถุประสงค์: เพื่อรับรู้ถึงผลลัพธ์ที่มีโอกาสเกิดขึ้นเท่ากันและเป็นอิสระต่อกัน
เรียกใช้สิ่งเหล่านี้แบบสดๆ ด้วย AhaSlides
สองส่วนของกิจกรรมเหล่านี้ต้องใช้ความละเอียดอ่อนในการทำด้วยมือ ได้แก่ การสร้างค่าสุ่มที่เป็นธรรม และการรวบรวมผลลัพธ์ของทุกคนให้เร็วพอที่จะนำมาอภิปรายได้ AhaSlides จัดการทั้งสองอย่างจากด้านหน้าห้อง
- วงล้อปั่น การสุ่มจับฉลากจะทำโดยการเลือกนักเรียน หมายเลข หรือสี ดังนั้นการจับฉลากจึงสามารถมองเห็นได้โดยทั้งชั้นเรียนและพิสูจน์ได้ว่าไม่มีการโกง
- โพลสด รวบรวมข้อมูลการทดลองได้ในไม่กี่วินาที นักเรียนทุกคนส่งผลการนับหัวหรือผลรวมของลูกเต๋า แผนภูมิแท่งจะสร้างขึ้นแบบเรียลไทม์ และทั้งชั้นเรียนจะเปรียบเทียบผลการทดลองกับผลการทำนายทางทฤษฎีได้ทันที
- สไลด์แบบทดสอบ เปลี่ยนแนวคิดเหล่านั้นให้เป็นรอบการแข่งขันที่มีคะแนน เช่น “ความน่าจะเป็นของการทอยลูกเต๋าได้เลข 7 คือเท่าไร?” โดยมีกระดานคะแนนที่จะช่วยให้การถกเถียงเรื่องความยุติธรรมหรือค่าที่คาดหวังยังคงดำเนินต่อไปอย่างมีชีวิตชีวา
เนื่องจากระบบจะบันทึกและแสดงคำตอบโดยอัตโนมัติ คุณจึงใช้เวลาในบทเรียนไปกับการอธิบายเหตุผลมากกว่าการนับจำนวน และข้อมูลรวมของทั้งชั้นเรียนนี่เองที่ทำให้กฎของจำนวนมากได้ผลอย่างแท้จริง
นำมาฝากกันค่ะ
การสอนเรื่องความน่าจะเป็นจะง่ายที่สุดเมื่อนักเรียนได้เห็นกระบวนการเกิดขึ้นจริง เลือกเกมเหล่านี้สักสองหรือสามเกมสำหรับบทเรียน: เกมทดลองเพื่อวอร์มอัพหนึ่งเกม เกมปริศนาที่ท้าทายสัญชาตญาณหนึ่งเกม และเกมที่คุ้นเคยอีกหนึ่งเกมที่อธิบายหลักการทางคณิตศาสตร์ใหม่ ระบุแนวคิดทุกครั้ง เก็บข้อมูลจริง และปล่อยให้ช่องว่างระหว่างทฤษฎีและการทดลองเป็นตัวช่วยในการสอน
อ้างอิง
Freeman, S., Eddy, SL, McDonough, M., Smith, MK, Okoroafor, N., Jordt, H., & Wenderoth, MP (2014). การเรียนรู้เชิงรุกช่วยเพิ่มผลการเรียนของนักเรียนในสาขาวิทยาศาสตร์ วิศวกรรมศาสตร์ และคณิตศาสตร์ Proceedings of the National Academy of Sciences, 111(23), 8410-8415. https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1319030111
