Olasılık Oyunlarına Örnekler: Öğrencilere Gerçek Matematiği Öğretmek İçin 13 Sınıf Etkinliği

Zar atın, yazı tura atın, çarkı çevirin ve işe yarar bir şey olur: "altıda bir" gibi soyut bir fikir, öğrencilerin görebileceği, tartışabileceği ve ölçebileceği bir şeye dönüşür. Bu nedenle olasılık, uygulamalı öğretim için matematik müfredatının en elverişli alanlarından biridir. Aktif görevler etrafında yapılandırılmış sınıflardaki öğrenciler, yalnızca ders anlatımına dayalı sınıflardaki öğrencilerden daha iyi performans gösterir ve 225 çalışmanın analizine göre, geleneksel ders anlatımına dayalı sınıflardaki öğrencilerin başarısız olma olasılığı, aktif öğrenme sınıflarındaki öğrencilere göre 1.5 kat daha fazladır (Freeman vd., 2014).

Aşağıdaki oyunlar, kumarhane gecesi listesinin sınıf ortamına uyarlanmış halidir. Her birinde öğrettiği olasılık kavramı, öğrenme hedefi, yaklaşık not aralığı ve derste nasıl uygulanacağı belirtilmiştir. Kimse para yatırmaz. Kazanç, anlayıştır.

Bu oyunların öğrettiği olasılık kavramları

Oyunlardan önce, işte harita. Çoğu ikincil olasılık standardı, birkaç büyük fikre dayanır:

• Örnek uzay: Olası her sonucu listelemek.
• Teorik olasılık ile deneysel olasılık arasındaki fark: Kağıt üzerinde olması gereken ile denediğinizde olan arasındaki fark.
• Bağımsız olaylar ve bağımlı olaylar: Bir sonucun bir sonraki sonucun olasılığını değiştirip değiştirmediği.
• Beklenen değer: Birçok denemenin ortalama sonucu ve akıllıca bir kararın temeli.
• Adalet, kombinasyonlar ve permütasyonlar: Her sonucun eşit olasılığa sahip olup olmadığı ve bir olayın meydana gelme yollarının nasıl sayılacağı.

Her oyun, hedeflediği fikirle etiketlenmiştir, böylece onu doğru derse entegre edebilirsiniz.

Isınma deneyleri: teorik ve deneysel olasılık

1. Para atma sonucu oluşan yığılma

Konsept: Teorik olasılık ile deneysel olasılık arasındaki fark, büyük sayılar yasası. 5-8. Sınıflar. Her öğrenci 20 kez madeni para atar ve gelen tura sayısını kaydeder. Bireysel sonuçlar karışıktır: bir öğrenci 13 tura, diğeri 7 tura gelir. Ardından tüm sınıfın toplamı alınır. Atış sayısı yüzlere çıktıkça, tura oranının toplamı %50'ye yakın bir değere ulaşır. Amaç: öğrencilerin küçük bir örneklemde sonuçların dengesiz görünebileceğini, ancak uzun vadeli oranın teorik olasılıkla eşleştiğini görmelerini sağlamaktır.

2. İki zarın toplamının hesaplanması

Konsept: Örneklem uzayı, olasılık dağılımları. 6-9. Sınıflar. İki zar attığınızda hangi toplamın en olası olduğunu sorun: 2, 7 veya 12. Çoğu öğrenci yanlış tahmin eder. Onlardan iki zarı 30 kez atmalarını, toplamları toplamalarını ve ardından bir sınıf çubuk grafiği oluşturmalarını isteyin. 7 kazanır çünkü 36 sonuçtan altısı (1+6, 2+5, 3+4 ve bunların tersleri) 7 iken, 2 ve 12'nin her birinin yalnızca birer olasılığı vardır. Amaç: Listelenen bir örnek uzayı gerçek bir dağılıma bağlamak.

3. Puanları bölün: pembenin kazanma olasılığı iki kat daha fazla.

Konsept: Kesirler ve yüzdeler, bir bütünün parçaları. 4-5. Sınıflar. Bu yaşta öğrenciler 100'ün bir bütünü (%100) temsil ettiğini yeni yeni kavramaya başlıyor ve temel kesirleri öğreniyorlar; bu nedenle, konuyu basit ve risksiz tutun. "Pembenin yeşilden iki kat daha fazla olma olasılığı olmalı ve turuncu ile siyahın eşit şansı olmalı" gibi sade bir kural ortaya koyun ve her öğrencinin 100 puanı dört renk arasında, kendi dağılımı bu kuralı karşılayacak şekilde bölmesini sağlayın. Puanlama yapılmaz ve tek bir doğru cevap yoktur, bu nedenle öğrenciler yanlış tahmin etmekten dolayı donup kalmak yerine özgürce deney yapabilirler. Amaç: Soyut bir oranı somut bir bütünün yüzdesine dönüştürmek ve her öğrencinin dağılımının gerçekten 100'e ulaşıp ulaşmadığını ve belirtilen ilişkiyle eşleşip eşleşmediğini kontrol ederek mantığı doğrulamak.

AhaSlides'ın Puanları Bölme slaytı, öğretmenin dört kategori ve 100 puanlık bir havuz oluşturmasına olanak tanır; her öğrenci kendi puan dağılımını gönderir ve sonuçlar canlı olarak pasta grafiği şeklinde oluşturulur, böylece sınıf hemen puan dağılımlarını belirtilen kurala göre karşılaştırabilir ve kimin en yakın puana ulaştığını ve nedenini tartışabilir.

4. Çarkı çevirin: adil mi, adil değil mi?

Konsept: Adil ve adil olmayan sonuçlar, kesirler ve oranlar. 4-7. Sınıflar. Önce eşit renkli bölümlere ayrılmış bir çarkla başlayın, ardından tek bir rengin yarısını kapladığı bir çarka geçin. Öğrenciler tahminlerde bulunur, çarkı birçok kez çevirir ve sonuçları karşılaştırır. Amaç: Olasılığı bütünün bir kesri olarak ifade etmek ve eşit olasılıklı ve ağırlıklı bir çark arasındaki farkı hissetmek.

Ücretsiz olasılık çarkı şablonunu indirin. Öğretmen ve sınıfın karşı karşıya geldiği, her turda olasılıkların önceden belirlendiği bu oyunu aynen oynamak.

5. Kart çekme: yerine koyarak ve koymadan

Konsept: Bağımsız olaylar ve bağımlı olaylar, koşullu olasılık. 8-10. Sınıflar. Bir kart çekin, not edin ve bir sonraki çekilişte as gelme olasılığını sorun. Bunu iki kez yapın: bir kez kartı yerine koyarak, bir kez de kartı desteden çıkararak. Yerine koyma durumunda olasılık her zaman 4/52 olarak kalır (bağımsız). Yerine koymadan ise deste küçülür ve olasılıklar değişir (bağımlı). Hızlı bir Uno oyunu da aynı noktayı gösterir: kartlar desteden çıktığında, çekilecek kart sayısı değişir. Amaç: bağımsız ve bağımlı olayları ayırt etmek.

Tartışma yaratan olasılık bulmacaları

6. Monty Hall problemi

Konsept: Koşullu olasılık. 9-12. Sınıflar. Üç kapı, bir ödül. Bir öğrenci bir kapı seçer, siz diğer iki kapıdan hangisinin kazanacağını açıklarsınız ve ardından bir değiştirme seçeneği sunarsınız. Değiştirmeyi kabul etmeli mi? Değiştirme, üçte iki oranında kazandırır; bu, sınıf 30 kez simülasyon yapıp sayana kadar neredeyse kimse inanmaz. Amaç: Yeni bilginin olasılığı güncellediğini ve sezginin yanıltıcı olabileceğini göstermek.

7. Açgözlü Domuz

Konsept: Beklenen değer, risk altında karar verme. 6-9. Sınıflar. Tüm sınıf ayağa kalkar. Bir zar atılır ve herkes puan toplar, ancak 1 gelirse ayakta kalan herkes o turdaki puanlarını kaybeder. Oyuncular, biriktirdikleri puanları saklamak istediklerinde otururlar. Matematiksel hesaplama: Biriktirilmemiş puanınız yaklaşık 20'yi geçene kadar bir zar daha atmaya değer, bu noktadan sonra beklenen kazanç negatif hale gelir. Amaç: Beklenen değeri gerçek bir kararı yönlendirmek için kullanmak.

8. Bu oyun adil mi?

Konsept: Adalet, olasılıkları karşılaştırmak. 7-10. Sınıflar. Oyuncu çiftlerine "Zarların toplamı çift ise A oyuncusu, tek ise B oyuncusu kazanır" veya "A, 12'den büyük bir çarpım elde ederse kazanır" gibi bir kural verin. Öğrenciler oynar, dengesizlikten şüphelenir ve ardından bunu örneklem uzayıyla kanıtlar. Amaç: Adil olup olmadığını sezgisel olarak değil, kanıtlarla değerlendirmek ve ardından adil olmayan bir kuralı dengeleyecek şekilde yeniden tasarlamak.

9. Doğum günü paradoksu

Konsept: Tamamlayıcı olasılık, kombinasyonlar. 9-12. Sınıflar. İki kişinin aynı doğum gününü paylaşma olasılığının daha yüksek olması için kaç kişiye ihtiyaç duyulduğunu sorun. Cevap, 23, çoğu sınıfı şaşırtır. Sonra kendi sınıfınızı kontrol edin: 30 öğrenciyle olasılık yaklaşık %70'tir. İşin püf noktası, doğum günlerinin birbirinden farklı olabileceği yolları saymak ve 1'den çıkarmaktır. Amaç: Şaşırtıcı bir sonuca ulaşmak için tamamlayıcı sayma yöntemini kullanmak.

Klasik oyunlar, olasılık dersleri olarak yeniden yorumlanıyor.

10. Yahtzee

Konsept: kombinasyonlar, belirli sonuçların olasılığı. 6-9. Sınıflar. Yahtzee, eğlencenin ötesinde, bir olasılık motorudur. İlk atışta üçlü gelme olasılığı nedir? Oyuncu iki çifti mi tutmalı yoksa düz bir sıra mı kovalamalı? Amaç: Hedef sonuçların olasılıklarını tahmin etmek ve bunları seçim yapmak için kullanmak.

11. Olasılık tabanlı Monopoly oyunu

Konsept: Uygulanan dağıtımlar. 7-10. Sınıflar. İki zarın toplamına göre hareket ettiğiniz için, bazı karelere diğerlerinden çok daha fazla inilir ve hapisten çıkmak trafiği turuncu ve kırmızı karelere doğru çeker. Öğrencilerden sıcak kareleri tahmin etmelerini ve ardından bir oyun boyunca inişleri saymalarını isteyin. Amaç: İki zar dağılımını tanıdık bir tahtaya uygulamak.

12. bingo

Konsept: Yerine koymadan rastgele çekimler, oranlar. 4-7. Sınıflar. Sayılar çekildikçe ve geri verilmedikçe, bir sonraki çağrının kartınıza yardımcı olma olasılığı her seferinde değişir. Öğrencilerden 10 sayı çekildikten önce ve sonra bir çizgi oluşturma olasılıklarını tahmin etmelerini isteyin. Amaç: Eşit olasılıklı çekimlerin azalan havuzu hakkında akıl yürütmek.

13. Taş-kağıt-makas

Konsept: Eşit olasılıklı sonuçlar, bağımsız olaylar. 5-8. Sınıflar. Rastgele oyunlarda her atışın kazanma olasılığı üçte birdir ve turlar birbirinden bağımsızdır: dünkü galibiyet bugünkü galibiyet hakkında hiçbir şey söylemez. Ayrıca oyun teorisine de yumuşak bir giriş sağlar: gerçekten rastgele bir rakibe karşı kazanma stratejisi var mıdır? Amaç: eşit olasılıklı, bağımsız sonuçları tanımak.

Bu slaytları AhaSlides ile canlı olarak çalıştırın.

Bu etkinliklerin iki kısmı elle yapıldığında oldukça zahmetlidir: adil rastgelelik oluşturmak ve herkesin sonuçlarını tartışılacak kadar hızlı bir şekilde bir araya getirmek. AhaSlides, bu iki işlemi de odanın önünden halleder.

1. Döner Çark Rastgele çekilişler yapılır; bir öğrenci, bir sayı veya bir renk seçilir, böylece çekiliş tüm sınıf tarafından görülebilir ve hileli olmadığı kanıtlanabilir.
2. Canlı anketler Deney verilerini saniyeler içinde toplayın. Her öğrenci bir tura sayısı veya zar toplamı gönderir, çubuk grafik anında oluşturulur ve sınıf, deneysel sonucu teorik tahminle anında karşılaştırır.
3. Sınav slaytları Kavramları, "7 atma olasılığı nedir?" gibi puanlı bir oyun turuna dönüştürün ve adalet veya beklenen değer tartışmasını canlı tutan bir liderlik tablosu ekleyin.

Yanıtlar otomatik olarak kaydedilip grafik haline getirildiği için, dersi sayım yapmak yerine mantık yürütmeye ayırırsınız ve bir araya getirilmiş sınıf verileri, büyük sayılar yasasının tam olarak işe yaramasını sağlar.

bir araya getirmek

Olasılık, öğrencilerin olayı gözlemleyebildiği zaman öğretilmesi en kolay olanıdır. Bir ünite için şu oyunlardan iki veya üçünü seçin: bir ısınma deneyi, sezgiyi kıran bir bulmaca ve matematiği tekrar okuyarak öğrenebileceğiniz tanıdık bir oyun. Her seferinde kavramı adlandırın, gerçek veriler toplayın ve teori ile deney arasındaki boşluğun öğretmesini sağlayın.

Referanslar

Freeman, S., Eddy, SL, McDonough, M., Smith, MK, Okoroafor, N., Jordt, H., & Wenderoth, MP (2014). Aktif öğrenme, öğrencilerin fen, mühendislik ve matematik alanlarındaki performansını artırır. Ulusal Bilimler Akademisi Bildirileri, 111(23), 8410-8415. https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1319030111