Ρίξτε ένα ζάρι, γυρίστε ένα νόμισμα, γυρίστε έναν τροχό και κάτι χρήσιμο συμβαίνει: μια αφηρημένη ιδέα όπως «ένα στα έξι» μετατρέπεται σε κάτι που οι μαθητές μπορούν να δουν, να διαφωνήσουν και να μετρήσουν. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο η πιθανότητα είναι μια από τις πιο φιλικές γωνίες του προγράμματος σπουδών των μαθηματικών για πρακτική διδασκαλία. Οι μαθητές σε τάξεις που βασίζονται σε ενεργές εργασίες ξεπερνούν τους συνομηλίκους τους που παρακολουθούν μόνο διαλέξεις και μια ανάλυση 225 μελετών διαπίστωσε ότι οι μαθητές σε παραδοσιακές διαλέξεις είχαν 1.5 φορές περισσότερες πιθανότητες να αποτύχουν από εκείνους σε τάξεις ενεργητικής μάθησης (Freeman et al., 2014).
Τα παρακάτω παιχνίδια είναι η λίστα με τις βραδιές καζίνο που ξαναγράφτηκε για την τάξη. Κάθε ένα από αυτά αναφέρει την έννοια των πιθανοτήτων που διδάσκει, έναν μαθησιακό στόχο, μια πρόχειρη ζώνη βαθμολογίας και πώς να την εφαρμόσετε σε ένα μάθημα. Κανείς δεν ποντάρει χρήματα. Η ανταμοιβή είναι η κατανόηση.
Οι έννοιες πιθανοτήτων που διδάσκουν αυτά τα παιχνίδια
Πριν από τους αγώνες, ορίστε ο χάρτης. Τα περισσότερα δευτερεύοντα πρότυπα πιθανοτήτων καταλήγουν σε μια χούφτα σημαντικών ιδεών:
- Δειγματικός χώρος: καταγράφοντας κάθε πιθανό αποτέλεσμα.
- Θεωρητική έναντι πειραματικής πιθανότητας: τι πρέπει να συμβαίνει σε χαρτί έναντι τι συμβαίνει όταν το δοκιμάζεις.
- Ανεξάρτητα έναντι εξαρτημένων συμβάντων: αν ένα αποτέλεσμα αλλάζει τις πιθανότητες του επόμενου.
- Αναμενόμενη τιμή: το μέσο αποτέλεσμα σε πολλές δοκιμές και η βάση μιας έξυπνης απόφασης.
- Δικαιοσύνη, συνδυασμοί και μεταθέσεις: αν κάθε αποτέλεσμα είναι εξίσου πιθανό και πώς να μετράμε τους τρόπους με τους οποίους μπορεί να συμβεί ένα συμβάν.
Κάθε παιχνίδι συνοδεύεται από την ιδέα στην οποία στοχεύει, ώστε να μπορείτε να την ενσωματώσετε στο σωστό μάθημα.
Πειράματα προθέρμανσης: θεωρητική έναντι πειραματικής πιθανότητας
1. Στοίβαξη κερμάτων
Έννοια: Θεωρητική έναντι πειραματικής πιθανότητας, ο νόμος των μεγάλων αριθμών. Τάξεις 5-8. Κάθε μαθητής ρίχνει ένα νόμισμα 20 φορές και καταγράφει τις πιθανότητες. Ατομικά, τα αποτελέσματα είναι περίπλοκα: ένας μαθητής παίρνει 13 πιθανότητες, ένας άλλος παίρνει 7. Στη συνέχεια, συγκεντρώνεται το σύνολο ολόκληρης της τάξης. Καθώς ο αριθμός των πιθανοτήτων ανεβαίνει στις εκατοντάδες, το συνδυασμένο μερίδιο των πιθανοτήτων πλησιάζει το 50%. Στόχος: Οι μαθητές βλέπουν ότι ένα μικρό δείγμα μπορεί να φαίνεται μονόπλευρο, ενώ ο μακροπρόθεσμος ρυθμός ταιριάζει με τη θεωρητική πιθανότητα.
2. Αναμέτρηση δύο ζαριών
Έννοια: δειγματικός χώρος, κατανομές πιθανοτήτων. Τάξεις 6-9. Ρωτήστε ποιο άθροισμα είναι πιο πιθανό όταν ρίχνετε δύο ζάρια: 2, 7 ή 12. Οι περισσότεροι μαθητές μαντεύουν λάθος. Βάλτε τους να ρίξουν δύο ζάρια 30 φορές, να μετρήσουν τα αθροίσματα και στη συνέχεια να κατασκευάσουν ένα ραβδόγραμμα τάξης. Επτά νίκες επειδή έχει έξι τρόπους εμφάνισης (1+6, 2+5, 3+4 και οι αντίστροφοί τους) από τα 36 αποτελέσματα, ενώ τα 2 και 12 έχουν μόνο ένα το καθένα. Στόχος: συνδέστε έναν καταχωρημένο δειγματικό χώρο με μια πραγματική κατανομή.
3. Χωρίστε τα σημεία: το ροζ είναι διπλάσιο πιθανό
Έννοια: κλάσματα και ποσοστά, μέρη ενός όλου. Τάξεις 4-5. Σε αυτήν την ηλικία, οι μαθητές μόλις αρχίζουν να κατανοούν ότι το 100 αντιπροσωπεύει ένα σύνολο (100%) και μαθαίνουν βασικά κλάσματα, οπότε διατηρήστε τη σύντομη απλή και χαμηλού ρίσκου. Θέστε έναν απλό κανόνα, όπως «Το ροζ πρέπει να έχει διπλάσια πιθανότητα από το πράσινο, και το πορτοκαλί και το μαύρο πρέπει να έχουν ίσες πιθανότητες», και ζητήστε από κάθε μαθητή να χωρίσει 100 πόντους στα τέσσερα χρώματα, έτσι ώστε η διαίρεση του να την ικανοποιεί. Τίποτα δεν βαθμολογείται και δεν υπάρχει μία μόνο σωστή απάντηση, έτσι ώστε οι μαθητές να μπορούν να πειραματιστούν ελεύθερα αντί να παγώνουν μήπως κάνουν λάθος εικασίες. Στόχος: να μετατρέψετε μια αφηρημένη αναλογία σε ένα συγκεκριμένο ποσοστό ενός συνόλου και να ελέγξετε τη συλλογιστική βλέποντας αν η διαίρεση κάθε μαθητή στην πραγματικότητα αθροίζει 100 και ταιριάζει με τη δηλωμένη σχέση.
Η διαφάνεια «Διαχωρισμός πόντων» του AhaSlides επιτρέπει στον εκπαιδευτικό να ορίσει τις τέσσερις κατηγορίες και μια ομάδα 100 πόντων. Κάθε μαθητής υποβάλλει τη δική του διαλογή και τα αποτελέσματα δημιουργούνται ζωντανά ως γράφημα πίτας, ώστε η τάξη να μπορεί να συγκρίνει αμέσως τις διαλογές με τον δηλωμένο κανόνα και να συζητήσει ποιος έφτασε πιο κοντά και γιατί.
4. Γυρίστε τον τροχό: δίκαιο vs άδικο
Έννοια: Δίκαια έναντι άδικων αποτελεσμάτων, κλάσματα και αναλογίες. Τάξεις 4-7. Ξεκινήστε με έναν τροχό χωρισμένο σε τμήματα ίσου χρώματος και, στη συνέχεια, μεταβείτε σε έναν όπου ένα μόνο χρώμα καταλαμβάνει το μισό. Οι μαθητές προβλέπουν, περιστρέφουν πολλές φορές και συγκρίνουν. Στόχος: να εκφράσουν την πιθανότητα ως κλάσμα του συνόλου και να νιώσουν τη διαφορά μεταξύ ενός τροχού ίσων πιθανοτήτων και ενός τροχού με βάρη.
Αποκτήστε το δωρεάν πρότυπο τροχού πιθανοτήτων για να τρέξετε αυτό ακριβώς το παιχνίδι, δάσκαλος εναντίον τάξης, με τις πιθανότητες ήδη ενσωματωμένες σε κάθε γύρο.
5. Κληρώσεις καρτών: με και χωρίς αντικατάσταση
Έννοια: ανεξάρτητα έναντι εξαρτημένων συμβάντων, υπό όρους πιθανότητα. Τάξεις 8-10. Τραβήξτε μια κάρτα, σημειώστε την και ζητήστε την πιθανότητα να έχετε άσσο στην επόμενη κλήρωση. Κάντε το δύο φορές: μία φορά αντικαθιστώντας την κάρτα, μία φορά κρατώντας την έξω. Με την αντικατάσταση οι πιθανότητες παραμένουν 4/52 κάθε φορά (ανεξάρτητη). Χωρίς αυτήν, η τράπουλα συρρικνώνεται και οι πιθανότητες μεταβάλλονται (εξαρτώμενη). Ένας γρήγορος γύρος Uno επιβεβαιώνει το ίδιο σημείο: μόλις οι κάρτες φύγουν από τη στοίβα, ό,τι απομένει για να τραβηχτεί αλλάζει. Στόχος: διάκριση ανεξάρτητων από εξαρτημένα γεγονότα.
Πιθανοτικά παζλ που πυροδοτούν συζήτηση
6. Το πρόβλημα του Μόντι Χολ
Έννοια: υπό όρους πιθανότητα. Τάξεις 9-12. Τρεις πόρτες, ένα βραβείο. Ένας μαθητής διαλέγει μια πόρτα, αποκαλύπτετε μια πόρτα που χάνει από τις άλλες δύο και μετά του προσφέρετε μια αλλαγή. Πρέπει να την επιλέξει; Η αλλαγή κερδίζει δύο στις τρεις φορές, κάτι που σχεδόν κανείς δεν πιστεύει μέχρι η τάξη να την προσομοιώσει 30 φορές και μετράει. Στόχος: να δείξετε ότι οι νέες πληροφορίες ενημερώνουν την πιθανότητα και ότι η διαίσθηση μπορεί να παραπλανήσει.
7. Άπληστο Γουρούνι
Έννοια: αναμενόμενη αξία, λήψη αποφάσεων υπό κίνδυνο. Τάξεις 6-9. Όλη η τάξη στέκεται όρθια. Ρίχνετε ένα ζάρι και όλοι μαζεύουν το σκορ, αλλά ρίχνετε ένα 1 και όποιος στέκεται ακόμα χάνει τους πόντους του για τον γύρο. Οι παίκτες κάθονται όταν θέλουν να βάλουν στην τράπεζα ό,τι έχουν. Τα μαθηματικά: αξίζει τον κόπο μία ακόμη ζαριά μέχρι το μη καλυμμένο σκορ σας να ξεπεράσει περίπου το 20, όπου το αναμενόμενο κέρδος γίνεται αρνητικό. Στόχος: χρησιμοποιήστε την αναμενόμενη τιμή για να καθοδηγήσετε μια πραγματική απόφαση.
8. Είναι δίκαιο αυτό το παιχνίδι;
Έννοια: δικαιοσύνη, σύγκριση πιθανοτήτων. Τάξεις 7-10. Δώστε στα ζευγάρια έναν κανόνα όπως «Ο παίκτης Α σκοράρει αν το άθροισμα των δύο ζαριών είναι ζυγό, ο παίκτης Β αν είναι μονός» ή «Ο Α κερδίζει με γινόμενο άνω του 12». Οι μαθητές παίζουν, υποψιάζονται μια ανισορροπία και στη συνέχεια την αποδεικνύουν με τον δειγματικό χώρο. Στόχος: να κρίνουν τη δικαιοσύνη με στοιχεία, όχι με το ένστικτό τους, και στη συνέχεια να επανασχεδιάσουν έναν άδικο κανόνα για να τον εξισορροπήσουν.
9. Το παράδοξο των γενεθλίων
Έννοια: συμπληρωματική πιθανότητα, συνδυασμοί. Τάξεις 9-12. Το πιο πιθανό είναι να ρωτήσετε πόσα άτομα χρειάζεστε πριν δύο μαθητές μοιραστούν τα γενέθλιά τους. Η απάντηση, 23, εντυπωσιάζει τις περισσότερες τάξεις. Στη συνέχεια, ελέγξτε την τάξη σας: με 30 μαθητές η πιθανότητα είναι περίπου 70%. Το κόλπο είναι να μετρήσετε τους τρόπους με τους οποίους μπορούν να διαφέρουν τα γενέθλια και να αφαιρέσετε από το 1. Στόχος: χρησιμοποιήστε συμπληρωματική μέτρηση για να φτάσετε σε ένα εκπληκτικό αποτέλεσμα.
Κλασικά παιχνίδια, ξαναδιαβάστε ως μαθήματα πιθανοτήτων
10. Yahtzee
Έννοια: συνδυασμοί, πιθανότητα συγκεκριμένων αποτελεσμάτων. Τάξεις 6-9. Πέρα από τη διασκέδαση, το Yahtzee είναι μια μηχανή πιθανοτήτων. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρει τρία ίδια ζεύγη στην πρώτη ρίψη; Πρέπει ένας παίκτης να κρατήσει δύο ζεύγη ή να κυνηγήσει μια κέντα; Στόχος: να εκτιμήσει τις πιθανότητες των αποτελεσμάτων-στόχων και να τις χρησιμοποιήσει για να κάνει επιλογές.
11. Μονοπώλιο, η πιθανολογική εκδοχή
Έννοια: εφαρμοσμένες κατανομές. Τάξεις 7-10. Επειδή κινείστε με βάση το άθροισμα δύο ζαριών, ορισμένα τετράγωνα πέφτουν πολύ περισσότερο από άλλα, και η έξοδος από τη φυλακή τραβάει κίνηση προς τα πορτοκαλί και τα κόκκινα. Ζητήστε από τους μαθητές να προβλέψουν τα πιο δημοφιλή τετράγωνα και στη συνέχεια να μετρήσουν τις προσγειώσεις σε ένα παιχνίδι. Στόχος: εφαρμόστε την κατανομή των δύο ζαριών σε ένα οικείο ταμπλό.
12. bingo
Έννοια: τυχαίες κληρώσεις χωρίς αντικατάσταση, αναλογίες. Τάξεις 4-7. Καθώς οι αριθμοί κληρώνονται και δεν επιστρέφονται, η πιθανότητα η επόμενη κλήση να βοηθήσει την κάρτα σας αλλάζει κάθε φορά. Ζητήστε από τους μαθητές να εκτιμήσουν τις πιθανότητές τους για μια γραμμή πριν και μετά την έξοδο 10 αριθμών. Στόχος: να συλλογιστούν σχετικά με μια συρρικνούμενη ομάδα εξίσου πιθανών κληρώσεων.
13. Πέτρα-χαρτί-ψαλίδι
Έννοια: εξίσου πιθανά αποτελέσματα, ανεξάρτητα γεγονότα. Τάξεις 5-8. Με το τυχαίο παιχνίδι, κάθε ρίψη έχει μία στις τρεις πιθανότητες και οι γύροι είναι ανεξάρτητοι: η χθεσινή νίκη δεν λέει τίποτα για τη σημερινή. Είναι επίσης μια ήπια πόρτα στη θεωρία παιγνίων: υπάρχει μια νικηφόρα στρατηγική εναντίον ενός πραγματικά τυχαίου αντιπάλου; Στόχος: αναγνώριση εξίσου πιθανών, ανεξάρτητων αποτελεσμάτων.
Τρέξτε αυτά ζωντανά με το AhaSlides
Δύο μέρη αυτών των δραστηριοτήτων είναι χειρωνακτικά: η δημιουργία δίκαιης τυχαιότητας και η συγκέντρωση των αποτελεσμάτων όλων αρκετά γρήγορα ώστε να τα συζητήσουμε. Το AhaSlides χειρίζεται και τα δύο από το μπροστινό μέρος της αίθουσας.
- Τροχός περιστροφής κάνει τις τυχαίες κληρώσεις, επιλέγοντας έναν μαθητή, έναν αριθμό ή ένα χρώμα, έτσι ώστε μια περιστροφή να είναι ορατή σε όλη την τάξη και αποδεδειγμένα άπλαστη.
- Ζωντανές δημοσκοπήσεις Συλλέξτε δεδομένα πειράματος σε δευτερόλεπτα. Κάθε μαθητής υποβάλλει έναν αριθμό κεφαλών ή ένα άθροισμα ζαριών, το ραβδόγραμμα δημιουργείται ζωντανά και η τάξη συγκρίνει το πειραματικό αποτέλεσμα με τη θεωρητική πρόβλεψη επί τόπου.
- Διαφάνειες κουίζ Μετατρέψτε τις έννοιες σε έναν γύρο βαθμολόγησης, όπως «Ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε 7;», με έναν πίνακα κατάταξης που διατηρεί ζωντανή μια συζήτηση για τη δικαιοσύνη ή την αναμενόμενη αξία.
Επειδή οι απαντήσεις καταγράφονται και καταγράφονται αυτόματα, αφιερώνετε το μάθημα στη συλλογιστική και όχι στην καταμέτρηση, και τα συγκεντρωτικά δεδομένα της τάξης είναι ακριβώς αυτό που καθιστά τον νόμο των μεγάλων αριθμών έγκυρο.
Φέρνοντας μαζί
Η πιθανοτική διδασκαλία είναι ευκολότερη όταν οι μαθητές μπορούν να την παρακολουθήσουν να συμβαίνει. Επιλέξτε δύο ή τρία από αυτά τα παιχνίδια για μια ενότητα: ένα πείραμα προθέρμανσης, ένα παζλ που διασπά τη διαίσθηση και ένα οικείο παιχνίδι - ξαναδιαβάστε τα μαθηματικά. Ονομάστε την έννοια κάθε φορά, συλλέξτε πραγματικά δεδομένα και αφήστε το χάσμα μεταξύ θεωρίας και πειράματος να κάνει τη διδασκαλία.
Αναφορές
Freeman, S., Eddy, SL, McDonough, M., Smith, MK, Okoroafor, N., Jordt, H., & Wenderoth, MP (2014). Η ενεργητική μάθηση αυξάνει την απόδοση των μαθητών στις φυσικές επιστήμες, τη μηχανική και τα μαθηματικά. Πρακτικά της Εθνικής Ακαδημίας Επιστημών, 111(23), 8410-8415. https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1319030111
