Tikimybių žaidimų pavyzdžiai: 13 klasėje atliekamų veiklų, skirtų mokyti mokinius tikros matematikos

Ridenk kauliuką, apversk monetą, pasuk ratą ir nutinka kažkas naudingo: abstrakti idėja, tokia kaip „vienas iš šešių“, virsta tuo, ką mokiniai gali matyti, dėl ko ginčytis ir ką jie gali išmatuoti. Štai kodėl tikimybė yra vienas draugiškiausių matematikos mokymo programos kampelių praktiniam mokymui. Mokiniai, besimokantys klasėse, paremtose aktyviomis užduotimis, pranoksta savo bendraamžius, kuriuose mokomasi tik paskaitų, o viena 225 tyrimų analizė parodė, kad studentai, lankantys tradicines paskaitas, 1.5 karto dažniau patiria nesėkmių nei tie, kurie lanko aktyvaus mokymosi klases (Freeman ir kt., 2014).

Žemiau pateikti žaidimai yra perrašytas kazino vakaro žaidimų sąrašas, pritaikytas pamokai. Kiekviename iš jų įvardinta dėstoma tikimybės sąvoka, mokymosi tikslas, apytikslis pažymių intervalas ir kaip jį atlikti pamokoje. Niekas nestato pinigų. Atlygis – supratimas.

Tikimybių sąvokos, kurių moko šie žaidimai

Prieš žaidynes pateikiame žemėlapį. Dauguma antrinių tikimybių standartų susiveda į keletą svarbių idėjų:

• Pavyzdžio erdvė: išvardinant visus galimus rezultatus.
• Teorinė ir eksperimentinė tikimybė: Kas turėtų nutikti ant popieriaus, o kas nutinka, kai pabandai.
• Nepriklausomi ir priklausomi įvykiai: ar vienas rezultatas pakeičia kito tikimybę.
• Laukiama vertė: vidutinis daugelio bandymų rezultatas ir protingo sprendimo pagrindas.
• Sąžiningumas, deriniai ir permutacijos: ar kiekvienas rezultatas yra vienodai tikėtinas ir kaip suskaičiuoti įvykio įvykimo būdus.

Kiekvienas žaidimas pažymėtas idėja, į kurią jis orientuotas, todėl galite jį įtraukti į reikiamą pamoką.

Apšilimo eksperimentai: teorinė ir eksperimentinė tikimybė

1. Monetų mėtymo krūva

Koncepcija: Teorinė ir eksperimentinė tikimybė, didelių skaičių dėsnis. 5-8 klasės. Kiekvienas mokinys 20 kartų meta monetą ir užrašo iškritusias galvas. Individualūs rezultatai būna painūs: vienas mokinys gauna 13 galvų, kitas – 7. Tada susumuojami visos klasės rezultatai. Kai monetų iškritimų skaičius išauga iki šimtų, bendra galvų dalis nusistovi ties 50 %. Tikslas: mokiniai supranta, kad maža imtis gali atrodyti nesubalansuota, o ilgalaikė tikimybė atitinka teorinę.

2. Dviejų kauliukų sumos parodymas

Koncepcija: imties erdvė, tikimybių skirstiniai. 6-9 klasės. Paklauskite, kuri suma yra labiausiai tikėtina, kai ridenami du kauliukai: 2, 7 arba 12. Dauguma mokinių atspėja neteisingai. Paprašykite jų ridenti du kauliukus 30 kartų, susumuoti sumas ir nubraižyti klasės stulpelinę diagramą. Septyni laimi, nes iš 36 galimi šeši būdai (1+6, 2+5, 3+4 ir jų atvirkštinės formos), o 2 ir 12 – tik po vieną. Tikslas: susieti pateiktą imties erdvę su realiuoju skirstiniu.

3. Padalinkite taškus: rožinė spalva dvigubai didesnė

Koncepcija: trupmenos ir procentai, visumos dalys. 4-5 klasės. Šiame amžiuje mokiniai tik pradeda suprasti, kad 100 yra visuma (100 %), ir mokosi pagrindinių trupmenų, todėl užduotys turi būti paprastos ir nerizikingos. Suformuluokite aiškią taisyklę, pavyzdžiui, „Rožinė spalva turėtų būti dvigubai labiau tikėtina nei žalia, o oranžinė ir juoda turėtų turėti vienodą tikimybę“, ir paprašykite kiekvieno mokinio padalinti 100 taškų tarp keturių spalvų taip, kad jų padalinys atitiktų taisyklę. Niekas nevertinama ir nėra vieno teisingo atsakymo, todėl mokiniai gali laisvai eksperimentuoti, užuot sustingę dėl neteisingo spėjimo. Tikslas: abstraktų santykį paversti konkrečiu visumos procentiniu dydžiu ir patikrinti argumentavimą, patikrinant, ar kiekvieno mokinio padalintas skaičius iš tikrųjų yra 100 ir atitinka nurodytą santykį.

„AhaSlides“ skaidrė „Padalinkite taškus“ leidžia mokytojui nustatyti keturias kategorijas ir 100 taškų fondą; kiekvienas mokinys pateikia savo padalijimą, o rezultatai pateikiami tiesiogiai kaip skritulinė diagrama, kad klasė galėtų iš karto palyginti padalijimus su nurodyta taisykle ir aptarti, kas ir kodėl priartėjo arčiausiai.

4. Pasukite ratą: teisingumas ir nesąžiningumas

Koncepcija: Teisingi ir nesąžiningi rezultatai, trupmenos ir santykiai. 4-7 klasės. Pradėkite nuo rato, padalinto į vienodos spalvos dalis, tada pereikite prie tokio, kuriame viena spalva užima pusę. Mokiniai spėja, sukasi daug kartų ir lygina. Tikslas: išreikšti tikimybę kaip visumos dalį ir pajusti skirtumą tarp vienodos tikimybės ir svertinio suktuko.

Atsisiųskite nemokamą tikimybių suktuko šabloną surengti būtent tokį žaidimą – mokytojas prieš klasę, – su kiekviename raunde jau numatytomis koeficientais.

5. Kortų traukimas: su pakeitimu ir be jo

Koncepcija: Nepriklausomi ir priklausomi įvykiai, sąlyginė tikimybė. 8-10 klasės. Ištraukite kortą, užsirašykite ją ir paklauskite, kokia yra tūzo tikimybė kito traukimo metu. Padarykite tai du kartus: vieną kartą pakeiskite kortą, kitą kartą nedėkite jos. Pakeitus kortą, tikimybė kiekvieną kartą išlieka 4/52 (nepriklausoma). Jei korta nebus pakeista, kaladė susitraukia, o tikimybė pasikeičia (priklausoma). Greitas „Uno“ raundas patvirtina tą patį: kai kortos palieka krūvą, pasikeičia tai, ką galima traukti. Tikslas: atskirti nepriklausomus įvykius nuo priklausomų.

Tikimybių galvosūkiai, kurie sukelia diskusijas

6. Monty Hall problema

Koncepcija: sąlyginė tikimybė. 9-12 klasės. Trys durys – vienas prizas. Mokinys pasirenka vienas duris, jūs atidengsite pralaiminčias duris iš kitų dviejų ir pasiūlysite sukeitimą. Ar jis turėtų jį priimti? Sukeitimas laimi du kartus iš trijų, kuo beveik niekas netiki, kol klasė to 30 kartų neimituoja ir tai įskaitoma. Tikslas: parodyti, kad nauja informacija atnaujina tikimybę ir kad intuicija gali suklaidinti.

7. Godus kiaulė

Koncepcija: laukiama vertė, sprendimų priėmimas esant rizikai. 6-9 klasės. Visa klasė stovi. Ridenant kauliuką, visi sumuoja taškus, bet išridenus 1, visi lieka stovėti ir praranda savo taškus. Žaidėjai atsisėda, kai nori išsaugoti tai, ką turi. Matematika: verta ridenti dar vieną kartą, kol jūsų neužfiksuotas taškų skaičius pasieks maždaug 20, kai tikėtinas padidėjimas taps neigiamas. Tikslas: priimti sprendimą, remiantis tikėtina verte.

8. Ar šis žaidimas sąžiningas?

Koncepcija: sąžiningumas, tikimybių palyginimas. 7-10 klasės. Pateikite poroms taisyklę, pavyzdžiui, „Žaidėjas A laimi, jei dviejų kauliukų suma yra lyginė, žaidėjas B – jei nelyginė“ arba „A laimi, jei sandauga yra didesnė nei 12“. Mokiniai žaidžia, įtaria disbalansą, tada įrodo jį naudodami imties erdvę. Tikslas: įvertinti sąžiningumą remiantis įrodymais, o ne nuojauta, tada pertvarkyti nesąžiningumo taisyklę, kad ji būtų subalansuota.

9. Gimtadienio paradoksas

Koncepcija: komplementarioji tikimybė, deriniai. 9-12 klasės. Paklauskite savęs, kiek žmonių jums reikia, kad dviese gimtadienį švęstų dviese, yra didesnė tikimybė. Atsakymas – 23 – pribloškia daugelį klasių. Tada patikrinkite savo auditoriją: jei yra 30 studentų, tikimybė yra apie 70 %. Esmė – suskaičiuoti, kuo skiriasi visų gimtadienių skaičiai, ir atimti iš 1. Tikslas: naudoti papildomąjį skaičiavimą, kad gautumėte stebinantį rezultatą.

Klasikiniai žaidimai, perskaityti kaip tikimybių pamokos

10. Yahtzee

Koncepcija: deriniai, konkrečių rezultatų tikimybė. 6-9 klasės. Be smagumo, „Yahtzee“ yra tikimybių variklis. Kokia tikimybė, kad pirmuoju metimu iškris trys vienodos kortos? Ar žaidėjas turėtų pasilikti dvi poras, ar siekti eilės? Tikslas: įvertinti tikslinių rezultatų tikimybes ir jas panaudoti sprendimams priimti.

11. Monopolija, tikimybės versija

Koncepcija: taikomieji paskirstymai. 7-10 klasės. Kadangi judate pagal dviejų kauliukų sumą, kai kurie langeliai patenka daug dažniau nei kiti, o išėjus iš kalėjimo eismas nukreipiamas link oranžinių ir raudonų. Paprašykite mokinių nuspėti karštus langelius, o tada suskaičiuoti jų kritimus per žaidimą. Tikslas: pritaikyti dviejų kauliukų pasiskirstymą pažįstamai lentai.

12. Bingo

Koncepcija: atsitiktiniai traukimai be pakeitimo, santykiai. 4-7 klasės. Traukiant ir negrąžinant skaičius, tikimybė, kad kitas traukimas padės jūsų kortai, kaskart kinta. Paprašykite mokinių įvertinti savo tikimybę, kad iškris linija prieš ir po to, kai iškrito 10 skaičių. Tikslas: pagrįsti mažėjantį vienodai tikimybių traukimų skaičių skaičių.

13. Akmuo-popierius-žirklės

Koncepcija: vienodai tikėtini rezultatai, nepriklausomi įvykiai. 5-8 klasės. Žaidžiant atsitiktine tvarka, kiekvienas metimas turi vieną iš trijų šansų laimėti, o raundai yra nepriklausomi: vakarykštė pergalė nieko nesako apie šiandienos pergalę. Tai taip pat yra švelnios durys į žaidimų teoriją: ar egzistuoja laimėjimo strategija prieš tikrai atsitiktinį priešininką? Tikslas: atpažinti vienodai tikėtinus, nepriklausomus rezultatus.

Vykdykite šiuos tiesioginius transliacijas naudodami „AhaSlides“

Dvi šios veiklos dalys yra kruopščiai atliekamos rankomis: sąžiningo atsitiktinumo generavimas ir visų rezultatų sujungimas pakankamai greitai, kad juos būtų galima aptarti. „AhaSlides“ atlieka abi šias dalis iš kambario priekio.

1. Verpimo ratas atlieka atsitiktinius traukimus, pasirinkdamas mokinį, skaičių arba spalvą, kad sukimas būtų matomas visai klasei ir būtų įrodyta, kad jis nėra suklastotas.
2. Tiesioginės apklausos Surinkite eksperimento duomenis per kelias sekundes. Kiekvienas mokinys pateikia galvų skaičių arba kauliukų sumą, stulpelinė diagrama sukuriama realiuoju laiku, o klasė vietoje lygina eksperimento rezultatą su teorine prognoze.
3. Viktorinos skaidrės Paverskite sąvokas taškų skaičiavimo raundu, pavyzdžiui, „Kokia tikimybė išridenti 7?“, su lyderių lentele, kuri palaikytų gyvą diskusiją apie teisingumą ar tikėtiną vertę.

Kadangi atsakymai fiksuojami ir diagramose suspindi automatiškai, pamoką skiriame samprotavimams, o ne suskaičiavimui, o sujungti klasės duomenys yra būtent tai, kas lemia didelių skaičių dėsnio įsigaliojimą.

Suvedus jį

Tikimybių teorijos lengviausia mokyti, kai mokiniai gali stebėti, kaip ji vyksta. Vienam moduliui pasirinkite du ar tris tokius žaidimus: vieną apšilimo eksperimentą, vieną galvosūkį, kuris laužo intuiciją, ir vieną pažįstamą žaidimą, kuriame reikia dar kartą perskaityti matematikos uždavinius. Kiekvieną kartą įvardykite sąvoką, rinkite realius duomenis ir leiskite teorijos bei eksperimento skirtumui atlikti mokymą.

Nuorodos

Freeman, S., Eddy, SL, McDonough, M., Smith, MK, Okoroafor, N., Jordt, H. ir Wenderoth, MP (2014). Aktyvus mokymasis gerina mokinių pasiekimus gamtos mokslų, inžinerijos ir matematikos srityse. Nacionalinės mokslų akademijos darbai, 111(23), 8410–8415. https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1319030111