Magpagulong ng dice, magpalipat-lipat ng barya, magpaikot ng gulong, at may mangyayaring kapaki-pakinabang: ang isang abstraktong ideya tulad ng "isa sa anim" ay nagiging isang bagay na makikita, mapagtatalunan, at masusukat ng mga estudyante. Kaya naman ang probabilidad ay isa sa mga pinaka-friendly na aspeto ng kurikulum ng matematika para sa praktikal na pagtuturo. Ang mga estudyante sa mga klaseng nakabatay sa mga aktibong gawain ay mas mahusay kaysa sa kanilang mga kapantay na nakatuon lamang sa lektura, at isang pagsusuri sa 225 na pag-aaral ang natuklasan na ang mga estudyante sa mga tradisyonal na lektura ay 1.5 beses na mas malamang na bumagsak kaysa sa mga nasa mga silid-aralan na aktibo ang pagkatuto (Freeman et al., 2014).
Ang mga laro sa ibaba ay ang listahan ng mga laro sa casino na muling isinulat para sa silid-aralan. Bawat isa ay tumutukoy sa konsepto ng probabilidad na itinuturo nito, isang layunin sa pagkatuto, isang rough grade band, at kung paano ito isasagawa sa isang aralin. Walang tumataya ng pera. Ang kapalit ay ang pag-unawa.
Ang mga konsepto ng probabilidad na itinuturo ng mga larong ito
Bago ang mga laro, narito ang mapa. Karamihan sa mga pamantayan ng pangalawang probabilidad ay bumababa sa ilang malalaking ideya:
- Espasyo ng halimbawa: paglilista ng bawat posibleng resulta.
- Probabilidad na teoretikal vs. eksperimental: ano ang dapat mangyari sa papel kumpara sa kung ano ang mangyayari kapag sinubukan mo ito.
- Mga pangyayaring nagsasarili vs. umaasa: kung ang isang resulta ay magbabago sa tsansa ng susunod.
- Inaasahang halaga: ang karaniwang resulta sa maraming pagsubok, at ang batayan ng isang matalinong desisyon.
- Pagkamakatarungan, mga kombinasyon, at mga permutasyon: kung ang bawat resulta ay pantay na malamang, at kung paano bibilangin ang mga paraan kung paano maaaring maganap ang isang kaganapan.
Ang bawat laro ay may tag na ideya na tinatarget nito, kaya maaari mo itong ilagay sa tamang aralin.
Mga eksperimento sa pagpapainit: teoretikal vs eksperimental na probabilidad
1. Pagtambak ng barya
Konsepto: teoretikal vs eksperimental na probabilidad, ang batas ng malalaking numero. Baitang 5-8. Ang bawat estudyante ay nagpapalit ng barya nang 20 beses at itinatala ang mga ulo. Magkakagulo ang mga resulta nang paisa-isa: ang isang estudyante ay makakakuha ng 13 ulo, ang isa naman ay makakakuha ng 7. Pagkatapos ay pagsasama-samahin ang kabuuan ng buong klase. Habang tumataas ang bilang ng mga pagpapalit ng barya sa daan-daan, ang pinagsamang bahagi ng mga ulo ay umaabot sa halos 50%. Layunin: nakikita ng mga estudyante na ang isang maliit na sample ay maaaring magmukhang hindi pantay habang ang pangmatagalan na rate ay tumutugma sa teoretikal na probabilidad.
2. Paghaharap sa kabuuan ng dalawang dice
Konsepto: espasyo ng sample, mga distribusyon ng probabilidad. Baitang 6-9. Itanong kung aling kabuuan ang malamang na mangyari kapag nagpagulong ka ng dalawang dice: 2, 7, o 12. Karamihan sa mga estudyante ay mali ang hula. Ipagulong sa kanila ang dalawang dice nang 30 beses, bilangin ang mga kabuuan, pagkatapos ay bumuo ng isang class bar chart. Pito ang panalo dahil mayroon itong anim na paraan ng paglitaw (1+6, 2+5, 3+4 at ang kanilang mga kabaligtaran) mula sa 36 na resulta, habang ang 2 at 12 ay may tig-iisa lamang. Layunin: ikonekta ang isang nakalistang sample space sa isang totoong distribusyon.
3. Hatiin ang mga puntos: doble ang posibilidad na magkaroon ng kulay rosas
Konsepto: mga praksyon at porsyento, mga bahagi ng isang kabuuan. Baitang 4-5. Sa edad na ito, nagsisimula pa lamang maunawaan ng mga estudyante na ang 100 ay kumakatawan sa isang kabuuan (100%) at natututo na ng mga pangunahing praksyon, kaya panatilihing simple at mababa ang pusta ang maikling salita. Magbigay ng isang simpleng tuntunin, tulad ng "Dapat doble ang posibilidad ng kulay rosas kaysa sa berde, at dapat may pantay na pagkakataon ang kahel at itim," at hayaang hatiin ng bawat estudyante ang 100 puntos sa apat na kulay upang matugunan ito ng kanilang hati. Walang puntos na ibinibigay at walang iisang tamang sagot, kaya malayang makapag-eksperimento ang mga estudyante sa halip na matigil sa maling hula. Layunin: gawing konkretong porsyento ng isang kabuuan ang isang abstract ratio, at suriin ang pangangatwiran sa pamamagitan ng pagtingin kung ang hati ng bawat estudyante ay talagang umabot sa 100 at tumutugma sa nakasaad na relasyon.
Ang Split the Points slide ng AhaSlides ay nagbibigay-daan sa guro na mag-set up ng apat na kategorya at isang 100-point pool; bawat estudyante ay magsusumite ng kanilang sariling split, at ang mga resulta ay bubuuin nang live bilang isang pie chart, para agad na maihambing ng klase ang mga split laban sa nakasaad na panuntunan at mapag-usapan kung sino ang pinakamalapit at bakit.
4. Paikutin ang gulong: patas vs hindi patas
Konsepto: patas vs. hindi patas na mga kinalabasan, mga praksyon at mga ratio. Baitang 4-7. Magsimula sa isang gulong na hinati sa magkakaparehong kulay, pagkatapos ay lumipat sa isa kung saan ang isang kulay ay sumasakop sa kalahati. Ang mga mag-aaral ay manghuhula, paikutin nang maraming beses, at maghahambing. Layunin: ipahayag ang probabilidad bilang isang bahagi ng kabuuan at damhin ang pagkakaiba sa pagitan ng isang pantay na pagkakataon at isang weighted spinner.
Kunin ang libreng template ng probability spinner wheel para patakbuhin ang eksaktong larong ito, guro laban sa klase, nang may nakalagay nang logro sa bawat round.
5. Pagbunot ng baraha: may kapalit at walang kapalit
Konsepto: mga pangyayaring malaya vs. mga pangyayaring umaasa, probabilidad na may kondisyon. Baitang 8-10. Kumuha ng baraha, itala ito, at humingi ng pagkakataong makakuha ng alas sa susunod na bunutan. Gawin ito nang dalawang beses: isang beses na ibalik ang baraha, isang beses na itago ito. Kapag pinalitan, ang logro ay mananatiling 4/52 sa bawat pagkakataon (independent). Kung wala ito, lumiliit ang deck at nagbabago ang logro (dependent). Ang isang mabilis na pag-ikot ng Uno ay nagbibigay ng parehong punto: kapag umalis na ang mga baraha sa tumpok, ang natitira na mabubunot ay magbabago. Layunin: makilala ang mga kaganapang independent mula sa mga dependent.
Mga palaisipan sa probabilidad na pumupukaw ng talakayan
6. Ang problema sa Monty Hall
Konsepto: kondisyonal na probabilidad. Baitang 9-12. Tatlong pinto, isang premyo. Pumili ang isang estudyante ng pinto, ipapakita mo ang isang talo mula sa dalawa pa, pagkatapos ay mag-aalok ng pagpapalit. Dapat ba nilang tanggapin ito? Ang pagpapalit ay dalawang beses na nananalo sa tatlo, na halos walang naniniwala hangga't hindi ito ginagaya ng klase nang 30 beses at mahalaga. Layunin: ipakita na ang bagong impormasyon ay nagpapabago sa probabilidad, at na ang intuwisyon ay maaaring magligaw.
7. Sakim na Baboy
Konsepto: inaasahang halaga, paggawa ng desisyon sa ilalim ng panganib. Baitang 6-9. Tatayo ang buong klase. Magpapalo ka ng isang dice at lahat ay makakakuha ng iskor, ngunit kung magpapalo ka ng 1 dice, mawawalan ng puntos ang sinumang nakatayo pa rin para sa round. Uupo ang mga manlalaro kapag gusto nilang i-bank ang mayroon sila. Ang matematika: sulit ang isa pang palo hanggang sa lumampas ang iyong unbanked score sa humigit-kumulang 20, kung saan ang inaasahang kita ay magiging negatibo. Layunin: gamitin ang inaasahang halaga upang gabayan ang isang tunay na desisyon.
8. Makatarungan ba ang larong ito?
Konsepto: pagiging patas, paghahambing ng mga probabilidad. Baitang 7-10. Bigyan ang mga pares ng panuntunan tulad ng “Ang Manlalaro A ay makakapuntos kung ang kabuuan ng dalawang dice ay pantay, ang Manlalaro B kung ito ay kakaiba,” o “Si A ang mananalo sa isang produkto na higit sa 12.” Maglalaro ang mga mag-aaral, maghinala ng kawalan ng balanse, pagkatapos ay patunayan ito gamit ang sample space. Layunin: husgahan ang pagiging patas gamit ang ebidensya, hindi ang kutob, pagkatapos ay muling idisenyo ang isang hindi patas na panuntunan upang balansehin ito.
9. Ang kabalintunaan ng kaarawan
Konsepto: komplementaryong probabilidad, mga kumbinasyon. Baitang 9-12. Malamang na tanungin kung ilang tao ang kailangan mo bago ang dalawang taong magbahagi ng kaarawan. Ang sagot na 23 ay nakakagulat sa karamihan ng mga klase. Pagkatapos, tingnan ang sarili mong silid: sa 30 estudyante, ang tsansa ay humigit-kumulang 70%. Ang sekreto ay ang pagbibilang kung paano maaaring magkaiba ang lahat ng kaarawan at pagbabawas mula sa 1. Layunin: gumamit ng komplementaryong pagbibilang upang makamit ang isang nakakagulat na resulta.
Mga klasikong laro, muling binabasa bilang mga aral sa probabilidad
10. Yahtzee
Konsepto: mga kumbinasyon, probabilidad ng mga tiyak na kinalabasan. Baitang 6-9. Higit pa sa kasiyahan, ang Yahtzee ay isang probability engine. Ano ang tsansa ng paggulong ng three-of-a-kind sa unang paghagis? Dapat bang magtabi ng dalawang pares ang isang manlalaro o habulin ang isang straight? Layunin: tantyahin ang mga posibilidad ng mga target na resulta at gamitin ang mga ito upang gumawa ng mga pagpili.
11. Monopolyo, ang bersyon ng probabilidad
Konsepto: mga inilapat na distribusyon. Baitang 7-10. Dahil gumagalaw ka sa kabuuan ng dalawang dice, ang ilang mga parisukat ay mas madalas na natatamaan kaysa sa iba, at ang paglabas sa kulungan ay humihila sa mga tao patungo sa mga kulay kahel at pula. Ipahula sa mga mag-aaral ang mga pinakamainit na parisukat, pagkatapos ay ipabilang ang mga natatamaan sa isang laro. Layunin: ilapat ang distribusyon ng dalawang dice sa isang pamilyar na board.
12. binggo
Konsepto: mga random na bunot na walang kapalit, mga ratio. Baitang 4-7. Dahil ang mga numero ay binubunot at hindi ibinabalik, ang tsansa na ang susunod na tawag ay makakatulong sa iyong baraha ay magbabago sa bawat pagkakataon. Hilingin sa mga mag-aaral na tantyahin ang kanilang tsansa na magkaroon ng linya bago at pagkatapos lumabas ang 10 numero. Layunin: mangatwiran tungkol sa lumiliit na pool ng pantay na malamang na bunutan.
13. Gunting na bato-papel
Konsepto: mga pantay na malamang na resulta, mga magkakahiwalay na kaganapan. Baitang 5-8. Sa random na paglalaro, ang bawat paghagis ay may isa-sa-tatlong pagkakataon, at ang mga round ay magkakahiwalay: ang panalo kahapon ay walang sinasabi tungkol sa panalo ngayon. Isa rin itong banayad na pinto patungo sa teorya ng laro: mayroon bang estratehiya sa panalo laban sa isang tunay na random na kalaban? Layunin: kilalanin ang pantay na malamang at magkakahiwalay na mga resulta.
Patakbuhin ang mga ito nang live gamit ang AhaSlides
Dalawang bahagi ng mga aktibidad na ito ay manu-manong ginagawa: ang pagbuo ng patas na randomness, at ang pagsasama-sama ng mga resulta ng lahat nang sapat na mabilis upang mapag-usapan ang mga ito. Hinahawakan ng AhaSlides ang pareho mula sa harap ng silid.
- Spinner Wheel Bumubunot nang random, pumipili ng estudyante, numero, o kulay, para makita ng buong klase ang pag-ikot at mapatunayang walang anumang problema.
- Mga live na botohan Mangolekta ng datos ng eksperimento sa loob ng ilang segundo. Ang bawat mag-aaral ay magsusumite ng heads count o dice sum, ang bar chart ay bubuuin nang live, at ikukumpara agad ng klase ang resulta ng eksperimento laban sa teoretikal na hula.
- Mga slide ng pagsusulit Gawing isang scored round ang mga konsepto, tulad ng “Ano ang probabilidad ng pag-roll ng 7?”, gamit ang isang leaderboard na magpapanatili sa isang debate tungkol sa pagiging patas o inaasahang halaga.
Dahil awtomatikong nakukuha at naitatala ang mga sagot, ginugugol mo ang aralin sa pangangatwiran sa halip na sa pagbibilang, at ang pinagsama-samang datos ng klase ang siyang eksaktong nagpapatibay sa batas ng malalaking numero.
Pinagsasama-sama ito
Pinakamadaling ituro ang probabilidad kapag napanood ito ng mga estudyante. Pumili ng dalawa o tatlo sa mga larong ito para sa isang yunit: isang eksperimento sa pag-init ng ulo, isang palaisipan na sisira sa intuwisyon, at isang pamilyar na laro na paulit-ulit na binabasa sa matematika. Banggitin ang konsepto sa bawat pagkakataon, mangalap ng totoong datos, at hayaang ang agwat sa pagitan ng teorya at eksperimento ang magturo.
Mga sanggunian
Freeman, S., Eddy, SL, McDonough, M., Smith, MK, Okoroafor, N., Jordt, H., & Wenderoth, MP (2014). Pinapataas ng aktibong pagkatuto ang pagganap ng mga mag-aaral sa agham, inhenyeriya, at matematika. Mga Pamamaraan ng Pambansang Akademya ng mga Agham, 111(23), 8410-8415. https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1319030111
