प्रायिकता संबंधी खेलों के उदाहरण: छात्रों को वास्तविक गणित सिखाने के लिए 13 कक्षा गतिविधियाँ

पासा फेंकें, सिक्का उछालें, पहिया घुमाएँ, और कुछ न कुछ उपयोगी परिणाम निकलता है: "छह में से एक" जैसा अमूर्त विचार ऐसी चीज़ में बदल जाता है जिसे छात्र देख सकते हैं, उस पर बहस कर सकते हैं और माप सकते हैं। यही कारण है कि प्रायिकता गणित पाठ्यक्रम का वह हिस्सा है जो व्यावहारिक शिक्षण के लिए सबसे उपयुक्त है। सक्रिय कार्यों पर आधारित कक्षाओं में छात्र केवल व्याख्यान वाली कक्षाओं के छात्रों से बेहतर प्रदर्शन करते हैं, और 225 अध्ययनों के एक विश्लेषण में पाया गया कि पारंपरिक व्याख्यानों में भाग लेने वाले छात्रों के असफल होने की संभावना सक्रिय शिक्षण कक्षाओं में भाग लेने वाले छात्रों की तुलना में 1.5 गुना अधिक थी (फ्रीमैन एट अल., 2014)।

नीचे दिए गए खेल कैसीनो नाइट की सूची को कक्षा के लिए संशोधित रूप में प्रस्तुत करते हैं। प्रत्येक खेल में संभाव्यता की अवधारणा, सीखने का उद्देश्य, एक अनुमानित ग्रेड समूह और पाठ में इसे कैसे शामिल किया जाए, इसका विवरण दिया गया है। इसमें कोई पैसा दांव पर नहीं लगाता। इसका परिणाम केवल समझ है।

इन खेलों के माध्यम से सिखाई जाने वाली प्रायिकता की अवधारणाएँ

खेलों से पहले, यह रहा नक्शा। अधिकांश द्वितीयक संभाव्यता मानक कुछ प्रमुख विचारों पर आधारित होते हैं:

• नमूना अंतरिक्ष: सभी संभावित परिणामों को सूचीबद्ध करना।
• सैद्धांतिक बनाम प्रायोगिक प्रायिकता: कागज़ पर जो होना चाहिए और जब आप उसे करके देखते हैं तो असल में क्या होता है।
• स्वतंत्र बनाम आश्रित घटनाएँ: क्या एक परिणाम अगले परिणाम की संभावनाओं को बदल देता है?
• अपेक्षित मान: अनेक परीक्षणों का औसत परिणाम, और एक समझदारीपूर्ण निर्णय का आधार।
• निष्पक्षता, संयोजन और क्रमचय: क्या प्रत्येक परिणाम की संभावना समान है, और किसी घटना के घटित होने के तरीकों की गणना कैसे की जाए।

प्रत्येक गेम को उस विचार के साथ टैग किया गया है जिसे वह लक्षित करता है, ताकि आप इसे सही पाठ में शामिल कर सकें।

प्रारंभिक प्रयोग: सैद्धांतिक बनाम प्रायोगिक प्रायिकता

1. सिक्का उछालकर ढेर लगाना

संकल्पना: सैद्धांतिक बनाम प्रायोगिक प्रायिकता, बड़ी संख्याओं का नियम। ग्रेड 5-8. प्रत्येक छात्र 20 बार सिक्का उछालता है और सभी हेड की संख्या नोट करता है। व्यक्तिगत रूप से परिणाम असमान हैं: एक छात्र को 13 हेड मिलते हैं, दूसरे को 7। फिर पूरी कक्षा के कुल परिणामों को एक साथ मिलाया जाता है। जैसे-जैसे उछालों की संख्या सैकड़ों में पहुँचती है, हेड का संयुक्त हिस्सा लगभग 50% के करीब स्थिर हो जाता है। उद्देश्य: छात्रों को यह दिखाना कि एक छोटा नमूना असंतुलित दिख सकता है जबकि दीर्घकालिक दर सैद्धांतिक संभावना से मेल खाती है।

2. दो पासों के योग का मुकाबला

संकल्पना: नमूना स्थान, प्रायिकता वितरण। ग्रेड 6-9. दो पासे फेंकने पर कौन सा योग सबसे अधिक संभावित है, यह पूछें: 2, 7 या 12? अधिकांश छात्र गलत अनुमान लगाते हैं। उन्हें 30 बार दो पासे फेंकने के लिए कहें, योगों को गिनें और फिर एक बार चार्ट बनाएं। 7 इसलिए सबसे अच्छा विकल्प है क्योंकि 36 परिणामों में से इसके छह संभावित परिणाम हैं (1+6, 2+5, 3+4 और उनके विपरीत), जबकि 2 और 12 के केवल एक-एक संभावित परिणाम हैं। उद्देश्य: सूचीबद्ध नमूना स्थान को वास्तविक वितरण से जोड़ना।

3. अंकों को विभाजित करें: गुलाबी रंग की संभावना दोगुनी है

संकल्पना: भिन्न और प्रतिशत, किसी संपूर्ण के भाग। ग्रेड 4-5. इस उम्र में, छात्र यह समझना शुरू कर रहे हैं कि 100 एक पूर्ण संख्या (100%) को दर्शाता है और वे बुनियादी भिन्न सीख रहे हैं, इसलिए प्रश्न को सरल और कम चुनौतीपूर्ण रखें। एक सरल भाषा में नियम बताएँ, जैसे कि "गुलाबी रंग की संभावना हरे रंग की तुलना में दोगुनी होनी चाहिए, और नारंगी और काले रंग की संभावना बराबर होनी चाहिए," और प्रत्येक छात्र को 100 अंकों को चारों रंगों में इस प्रकार बाँटने के लिए कहें कि उनका विभाजन नियम के अनुरूप हो। कोई अंक नहीं दिए जाएँगे और कोई एक सही उत्तर नहीं होगा, इसलिए छात्र गलत अनुमान लगाने के डर से घबराए बिना स्वतंत्र रूप से प्रयोग कर सकते हैं। उद्देश्य: एक अमूर्त अनुपात को एक पूर्ण संख्या के ठोस प्रतिशत में बदलना और यह जाँच करना कि क्या प्रत्येक छात्र का विभाजन वास्तव में 100 के बराबर है और बताए गए संबंध से मेल खाता है, इस प्रकार तर्क की जाँच करना।

AhaSlides' Split the Points slide lets the teacher set up the four categories and a 100-point pool; every student submits their own split, and the results build live as a pie chart, so the class can immediately compare splits against the stated rule and talk through who got closest and why.

4. पहिया घुमाएँ: उचित बनाम अनुचित

संकल्पना: उचित बनाम अनुचित परिणाम, भिन्न और अनुपात। ग्रेड 4-7. एक पहिये से शुरुआत करें जो बराबर रंगीन हिस्सों में बंटा हो, फिर एक ऐसे पहिये पर स्विच करें जिसमें एक ही रंग आधे हिस्से में हो। छात्र अनुमान लगाते हैं, कई बार घुमाते हैं और तुलना करते हैं। उद्देश्य: प्रायिकता को संपूर्ण के अंश के रूप में व्यक्त करना और समान संभावना वाले और भारित पहिये के बीच अंतर को समझना।

मुफ़्त प्रोबेबिलिटी स्पिनर व्हील टेम्प्लेट प्राप्त करें शिक्षक बनाम कक्षा का यह खेल ठीक इसी प्रकार से खेला जाए, जिसमें प्रत्येक दौर में जीतने की संभावना पहले से ही निर्धारित हो।

5. कार्ड निकालना: प्रतिस्थापन के साथ और बिना प्रतिस्थापन के

संकल्पना: स्वतंत्र बनाम आश्रित घटनाएँ, सशर्त प्रायिकता। ग्रेड 8-10. एक कार्ड निकालें, उसे नोट करें और अगले कार्ड निकालने पर इक्का आने की संभावना पूछें। इसे दो बार करें: एक बार कार्ड को वापस ढेर में रखकर, एक बार उसे बाहर ही रखकर। कार्ड वापस रखने पर संभावना हर बार 4/52 ही रहती है (स्वतंत्र)। कार्ड वापस रखे बिना, डेक छोटा हो जाता है और संभावना बदल जाती है (आश्रित)। ऊनो का एक छोटा सा राउंड भी यही बात समझाता है: एक बार कार्ड ढेर से हट जाने पर, निकालने के लिए बचे कार्डों की संख्या बदल जाती है। उद्देश्य: स्वतंत्र और आश्रित घटनाओं में अंतर करना।

संभावना संबंधी पहेलियाँ जो चर्चा को जन्म देती हैं

6. मोंटी हॉल की समस्या

संकल्पना: सशर्त प्रायिकता। ग्रेड 9-12. तीन दरवाजे, एक इनाम। एक छात्र एक दरवाजा चुनता है, आप बाकी दो दरवाजों में से एक हारने वाला दरवाजा दिखाते हैं, फिर उसे बदलने का विकल्प देते हैं। क्या उन्हें बदलना चाहिए? तीन में से दो बार बदलने पर जीत मिलती है, जिस पर लगभग कोई विश्वास नहीं करता जब तक कि कक्षा इसे 30 बार करके गिनती नहीं कर लेती। उद्देश्य: यह दिखाना कि नई जानकारी से संभावना बदल जाती है, और सहज ज्ञान भी गुमराह कर सकता है।

7. लालची सुअर

संकल्पना: अपेक्षित मूल्य, जोखिम के तहत निर्णय लेना। ग्रेड 6-9. पूरी कक्षा खड़ी हो जाती है। आप एक पासा फेंकते हैं और सभी को अंक मिलते हैं, लेकिन अगर 1 आता है तो जो भी खड़ा रहता है उसके उस राउंड के अंक कट जाते हैं। खिलाड़ी अपने अंक जमा करने के लिए बैठ जाते हैं। गणित: एक और पासा फेंकना तब तक फायदेमंद है जब तक आपका जमा न किया गया स्कोर लगभग 20 से अधिक न हो जाए, जिसके बाद अपेक्षित लाभ नकारात्मक हो जाता है। उद्देश्य: अपेक्षित मूल्य का उपयोग करके वास्तविक निर्णय लेना।

8. क्या यह खेल निष्पक्ष है?

संकल्पना: निष्पक्षता, संभावनाओं की तुलना करना। ग्रेड 7-10. जोड़ियों को एक नियम दें, जैसे कि "खिलाड़ी A को अंक मिलते हैं यदि दोनों पासों का योग सम हो, खिलाड़ी B को यदि विषम हो," या "A तब जीतता है जब गुणनफल 12 से अधिक हो।" छात्र खेलते हैं, असंतुलन का संदेह करते हैं, और फिर नमूना क्षेत्र के साथ इसे सिद्ध करते हैं। उद्देश्य: निष्पक्षता का मूल्यांकन साक्ष्य के आधार पर करना, न कि अंतर्ज्ञान के आधार पर, और फिर अनुचित नियम को संतुलित करने के लिए उसे संशोधित करना।

9. जन्मदिन का विरोधाभास

संकल्पना: पूरक संभाव्यता, संयोजन। ग्रेड 9-12. यह सवाल पूछिए कि कितने लोगों के होने पर दो लोगों का जन्मदिन एक ही दिन होने की संभावना अधिक होती है। इसका जवाब, 23, अधिकांश कक्षाओं को चौंका देता है। फिर अपनी कक्षा में ही जाँच कीजिए: 30 छात्रों के साथ यह संभावना लगभग 70% है। इसका तरीका यह है कि जन्मदिनों में होने वाले अंतरों को गिनें और उसमें से 1 घटाएँ। उद्देश्य: पूरक गणना विधि का उपयोग करके एक आश्चर्यजनक परिणाम प्राप्त करना।

क्लासिक खेल, जिन्हें संभाव्यता के पाठ के रूप में पुनः पढ़ा जा सकता है।

10. याहत्ज़ी

संकल्पना: संयोजन, विशिष्ट परिणामों की संभावना। ग्रेड 6-9. मनोरंजन के अलावा, याहत्ज़ी एक संभाव्यता विश्लेषण खेल है। पहली बार फेंकने पर तीन एक जैसे पत्ते आने की क्या संभावना है? क्या खिलाड़ी को दो जोड़ियाँ रखनी चाहिए या सीधी रेखा बनाने की कोशिश करनी चाहिए? उद्देश्य: संभावित परिणामों की संभावनाओं का अनुमान लगाना और उनका उपयोग निर्णय लेने में करना।

11. मोनोपोली, संभाव्यता संस्करण

संकल्पना: अनुप्रयुक्त वितरण। ग्रेड 7-10. क्योंकि आप दो पासों के योग के आधार पर आगे बढ़ते हैं, इसलिए कुछ खाने दूसरों की तुलना में कहीं अधिक बार आते हैं, और जेल से बाहर आने पर नारंगी और लाल खानों की ओर रुझान बढ़ जाता है। छात्रों से अधिक बार आने वाले खानों का अनुमान लगाने को कहें, फिर एक खेल के दौरान आने वाले खानों की गिनती करें। उद्देश्य: दो पासों के वितरण को एक परिचित बोर्ड पर लागू करना।

12। बिंगो

संकल्पना: बिना प्रतिस्थापन के यादृच्छिक चयन, अनुपात। ग्रेड 4-7. जैसे-जैसे नंबर निकाले जाते हैं और वापस नहीं किए जाते, अगले नंबर से आपके कार्ड में सफलता मिलने की संभावना हर बार बदलती रहती है। छात्रों से 10 नंबर निकाले जाने से पहले और बाद में एक लाइन बनने की संभावना का अनुमान लगाने को कहें। उद्देश्य: समान रूप से संभावित ड्रॉ की घटती संख्या के बारे में तर्क करना।

13. रॉक-पेपर-कैंची

संकल्पना: समान रूप से संभावित परिणाम, स्वतंत्र घटनाएँ। ग्रेड 5-8. यादृच्छिक खेल में प्रत्येक थ्रो की जीतने की संभावना एक तिहाई होती है, और राउंड एक दूसरे से स्वतंत्र होते हैं: कल की जीत आज की जीत के बारे में कुछ नहीं कहती। यह खेल सिद्धांत में प्रवेश करने का एक सरल तरीका भी है: क्या पूरी तरह से यादृच्छिक प्रतिद्वंद्वी के खिलाफ जीतने की कोई रणनीति है? उद्देश्य: समान रूप से संभावित, स्वतंत्र परिणामों को पहचानना।

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Two parts of these activities are fiddly by hand: generating fair randomness, and pooling everyone’s results fast enough to discuss them. AhaSlides handles both from the front of the room.

1. स्पिनर व्हील क्या यादृच्छिक रूप से किसी छात्र, संख्या या रंग का चयन करके लॉटरी निकाली जाती है, ताकि पूरी कक्षा को परिणाम दिखाई दे और यह साबित हो सके कि इसमें कोई धांधली नहीं हुई है?
2. चुनाव जीते प्रयोग का डेटा कुछ ही सेकंडों में एकत्र करें। प्रत्येक छात्र अंकों की संख्या या पासे का योग प्रस्तुत करता है, बार चार्ट तुरंत तैयार हो जाता है, और कक्षा मौके पर ही प्रायोगिक परिणाम की तुलना सैद्धांतिक अनुमान से करती है।
3. प्रश्नोत्तरी स्लाइड अवधारणाओं को एक स्कोर किए गए दौर में बदलें, जैसे कि "7 आने की संभावना क्या है?", जिसमें एक लीडरबोर्ड हो जो निष्पक्षता या अपेक्षित-मूल्य पर बहस को जीवंत बनाए रखे।

क्योंकि प्रतिक्रियाएं स्वचालित रूप से दर्ज और चार्ट की जाती हैं, इसलिए आप पाठ को गणना करने के बजाय तर्क पर केंद्रित करते हैं, और एकत्रित कक्षा डेटा ही वह चीज है जो बड़े नंबरों के नियम को प्रभावी ढंग से लागू करती है।

इसे एक साथ लाना

प्रायिकता को पढ़ाना तब सबसे आसान होता है जब छात्र इसे होते हुए देख सकें। एक यूनिट के लिए इनमें से दो या तीन खेल चुनें: एक अभ्यास प्रयोग, एक पहेली जो सहज ज्ञान को चुनौती दे, और एक परिचित खेल जिसमें गणितीय अवधारणाओं को फिर से पढ़ना शामिल हो। हर बार अवधारणा का नाम लें, वास्तविक डेटा एकत्र करें, और सिद्धांत और प्रयोग के बीच के अंतर को ही शिक्षण का माध्यम बनने दें।

संदर्भ

फ्रीमैन, एस., एडी, एस.एल., मैकडोनो, एम., स्मिथ, एम.के., ओकोरोआफोर, एन., जॉर्ड्ट, एच., और वेंडरॉथ, एम.पी. (2014)। सक्रिय शिक्षण विज्ञान, इंजीनियरिंग और गणित में छात्रों के प्रदर्शन को बढ़ाता है। नेशनल एकेडमी ऑफ साइंसेज की कार्यवाही, 111(23), 8410-8415। https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1319030111