Metiet kauliņu, uzmetiet monētu, pagrieziet ratu, un notiek kaut kas noderīgs: abstrakta ideja, piemēram, “viens no sešiem”, pārvēršas par kaut ko tādu, ko skolēni var redzēt, par ko diskutēt un ko var izmērīt. Tāpēc varbūtība ir viens no draudzīgākajiem matemātikas mācību programmas stūriem praktiskai mācīšanai. Skolēni nodarbībās, kas veidotas ap aktīviem uzdevumiem, pārspēj savus vienaudžus, kas piedalās tikai lekcijās, un viena 225 pētījumu analīze atklāja, ka studentiem tradicionālajās lekcijās bija 1.5 reizes lielāka iespēja neizdoties nekā tiem, kas mācās aktīvās mācīšanās klasēs (Freeman et al., 2014).
Zemāk esošās spēles ir kazino vakara spēļu saraksts, kas pārrakstīts klasei. Katra no tām norāda mācāmo varbūtības jēdzienu, mācību mērķi, aptuvenu atzīmju skalu un to, kā to izmantot stundā. Neviens neliek likmes uz naudu. Ieguvums ir izpratne.
Varbūtības jēdzieni, ko šīs spēles māca
Pirms spēlēm, lūk, karte. Lielākā daļa sekundāro varbūtības standartu ir reducējami uz dažām lielām idejām:
- Parauga vieta: uzskaitot visus iespējamos iznākumus.
- Teorētiskā un eksperimentālā varbūtība: kam vajadzētu notikt uz papīra, salīdzinot ar to, kas notiek, kad to izmēģini.
- Neatkarīgi un atkarīgi notikumi: vai viens rezultāts maina nākamā rezultāta izredzes.
- Paredzamā vērtība: vidējais rezultāts daudzos izmēģinājumos un gudra lēmuma pamats.
- Taisnīgums, kombinācijas un permutācijas: vai katrs iznākums ir vienlīdz ticams un kā saskaitīt veidus, kā notikums var notikt.
Katra spēle ir atzīmēta ar ideju, uz kuru tā ir vērsta, lai jūs varētu to ievietot pareizajā stundā.
Iesildīšanās eksperimenti: teorētiskā un eksperimentālā varbūtība
1. Monētu mešanas kaudze
Concept: Teorētiskā pret eksperimentālo varbūtību, lielo skaitļu likums. 5.–8. klase. Katrs skolēns 20 reizes met monētu un pieraksta galviņu skaitu. Individuāli rezultāti ir haotiski: viens skolēns iegūst 13 galviņas, cits — 7. Tad tiek apvienoti visas klases rezultāti. Kad monētu metienu skaits sasniedz simtus, kopējais galviņu skaits nostabilizējas tuvu 50%. Mērķis: skolēni saskata, ka neliela izlase var izskatīties nevienmērīga, savukārt ilgtermiņa rādītājs atbilst teorētiskajai varbūtībai.
2. Divu kauliņu summas atklāšana
Concept: izlases telpa, varbūtību sadalījumi. 6.–9. klase. Pajautājiet, kura summa ir visticamākā, metot divus kauliņus: 2, 7 vai 12. Lielākā daļa skolēnu min nepareizi. Lieciet viņiem mest divus kauliņus 30 reizes, saskaitīt summas un pēc tam izveidot klases stabiņu diagrammu. Septiņi uzvar, jo no 36 iznākumiem ir seši veidi (1+6, 2+5, 3+4 un to apgrieztās vērtības), savukārt 2 un 12 ir tikai viens katram. Mērķis: savienot norādīto parauga telpu ar reālu sadalījumu.
3. Sadaliet punktus: rozā krāsas iespējamība ir divreiz lielāka.
Concept: Daļskaitļi un procenti, veseluma daļas. 4.–5. klase. Šajā vecumā skolēni tikai sāk aptvert, ka 100 apzīmē veselu skaitli (100%), un apgūst pamata daļskaitļus, tāpēc saglabājiet mācību uzdevumu vienkāršu un ar nelieliem ierobežojumiem. Izvirziet saprotamu noteikumu, piemēram, "Rozā krāsai jābūt divreiz ticamākai nekā zaļai, un oranžai un melnai krāsai jābūt vienādām iespējām", un lieciet katram skolēnam sadalīt 100 punktus starp četrām krāsām tā, lai viņu sadalījums to apmierinātu. Nekas netiek vērtēts, un nav vienas pareizas atbildes, tāpēc skolēni var brīvi eksperimentēt, nevis sastingt par nepareizu minējumu. Mērķis: pārvērst abstraktu attiecību konkrētā vesela procentos un pārbaudīt pamatojumu, pārbaudot, vai katra skolēna sadalījums faktiski veido 100 un atbilst norādītajai attiecībai.
AhaSlides slaids “Sadalīt punktus” ļauj skolotājam iestatīt četras kategorijas un 100 punktu kopumu; katrs skolēns iesniedz savu sadalījumu, un rezultāti tiek veidoti tiešraidē kā sektoru diagramma, lai klase varētu nekavējoties salīdzināt sadalījumus ar noteikto noteikumu un pārrunāt, kurš un kāpēc tika vistuvāk.
4. Pagrieziet spēles ratu: godīgi pret negodīgiem
Concept: taisnīgi pret negodīgiem rezultātiem, daļskaitļi un attiecības. 4.–7. klase. Sāciet ar ratu, kas sadalīts vienādas krāsas daļās, pēc tam pārejiet uz tādu, kurā viena krāsa aizņem pusi. Skolēni prognozē, griežas daudzas reizes un salīdzina. Mērķis: izteikt varbūtību kā daļu no kopskaita un sajust atšķirību starp vienādas iespējas un svērto griezēju.
Paņemiet bezmaksas varbūtības vērpšanas riteņa veidni lai vadītu tieši šo spēli, skolotājs pret klasi, ar koeficientiem, kas jau ir iebūvēti katrā kārtā.
5. Kāršu vilkšana: ar un bez aizvietošanas
Concept: Neatkarīgi pret atkarīgiem notikumiem, nosacīta varbūtība. 8.–10. klase. Izvelciet kārti, pierakstiet to un pajautājiet, kāda ir dūza iespējamība nākamajā izvilkšanas reizē. Dariet to divas reizes: vienreiz nomainot kārti, vienreiz atstājot to ārpusē. Ar aizvietošanu izredzes katru reizi paliek 4/52 (neatkarīgas). Bez aizvietošanas kāršu kava sarūk un izredzes mainās (atkarīgas). Ātra Uno kārta parāda to pašu: tiklīdz kārtis atstāj kaudzi, mainās tas, ko atliek izvilkt. Mērķis: atšķirt neatkarīgus notikumus no atkarīgajiem.
Varbūtību mīklas, kas rosina diskusiju
6. Montija Hola problēma
Concept: nosacīta varbūtība. 9.–12. klase. Trīs durvis, viena balva. Students izvēlas vienas durvis, jūs atklājat vienas no pārējām divām durvīm, kas zaudē, un pēc tam piedāvājat iespēju mainīt durvis. Vai viņiem vajadzētu to pieņemt? Durvju maiņa uzvar divas reizes no trim, kam gandrīz neviens netic, kamēr klase to nav simulējusi 30 reizes un tas ir ieskaitīts. Mērķis: parādīt, ka jauna informācija maina varbūtību un ka intuīcija var maldināt.
7. Mantkārīga cūka
Concept: paredzamā vērtība, lēmumu pieņemšana riska apstākļos. 6.–9. klase. Visa klase pieceļas. Met vienu kauliņu, un visi saskaita punktus, bet, uzmetot 1, ikviens, kas joprojām stāv kājās, zaudē savus punktus šajā kārtā. Spēlētāji apsēžas, kad vēlas saglabāt savus punktus bankā. Matemātika: vēl viens metiens ir tā vērts, līdz jūsu neizmantotais punktu skaits sasniedz aptuveni 20, kur paredzamais ieguvums kļūst negatīvs. Mērķis: izmantot paredzamo vērtību, lai vadītu reālu lēmumu.
8. Vai šī spēle ir godīga?
Concept: taisnīgums, varbūtību salīdzināšana. 7.–10. klase. Dodiet pāriem noteikumu, piemēram, “Spēlētājs A gūst uzvaru, ja divu kauliņu summa ir pāra skaitlis, spēlētājs B, ja tā ir nepāra skaitlis,” vai “A uzvar, ja reizinājums ir lielāks par 12.” Skolēni spēlē, aizdomājas par nelīdzsvarotību un pēc tam to pierāda ar izlases laukumu. Mērķis: novērtēt taisnīgumu, pamatojoties uz pierādījumiem, nevis intuīciju, un pēc tam pārveidot negodīgu noteikumu, lai to līdzsvarotu.
9. Dzimšanas dienas paradokss
Concept: komplementārā varbūtība, kombinācijas. 9.–12. klase. Pajautājiet, cik cilvēku jums ir nepieciešams, lai divi cilvēki svinētu vienu dzimšanas dienu, visticamāk, nevis nē. Atbilde, 23, pārsteidz lielāko daļu klasi. Pēc tam pārbaudiet savu klasi: ar 30 studentiem iespējamība ir aptuveni 70%. Knifs ir saskaitīt, kā visas dzimšanas dienas var atšķirties, un atņemt no 1. Mērķis: izmantot papildinošo skaitīšanu, lai sasniegtu pārsteidzošu rezultātu.
Klasiskās spēles, pārlasītas kā varbūtības mācības
10. Yahtzee
Concept: kombinācijas, konkrētu iznākumu varbūtība. 6.–9. klase. Papildus jautrībai, Yahtzee ir varbūtību dzinējs. Kāda ir iespēja, ka pirmajā metienā uzkritīs trīs vienādas kārtis? Vai spēlētājam vajadzētu paturēt divus pārus vai dzīties pakaļ līnijai? Mērķis: novērtēt mērķa iznākumu varbūtības un izmantot tās, lai izdarītu izvēli.
11. Monopols, varbūtības versija
Concept: lietišķās sadales. 7.–10. klase. Tā kā kustība notiek pēc divu kauliņu summas, daži lauciņi tiek mesti daudz biežāk nekā citi, un, iznākot no cietuma, satiksme tiek piesaistīta oranžajiem un sarkanajiem. Lieciet skolēniem paredzēt karstos lauciņus un pēc tam saskaitīt tos spēles gaitā. Mērķis: pielietot divu kauliņu sadalījumu pazīstamam spēles laukumam.
12. loto
Concept: nejaušas izlozes bez aizvietošanas, attiecības. 4.–7. klase. Tā kā skaitļi tiek izlozēti un netiek atgriezti, iespēja, ka nākamais izspēles rezultāts palīdzēs jūsu kārtij, katru reizi mainās. Palūdziet skolēniem novērtēt savas izredzes uz līnijas izkrišanu pirms un pēc 10 izlozes skaitļiem. Mērķis: izskaidrot sarūkošo vienlīdz iespējamu izložu kopumu.
13. Akmens-papīrs-šķēres
Concept: vienlīdz ticami rezultāti, neatkarīgi notikumi. 5.–8. klase. Ar nejaušas spēles palīdzību katram metienam ir viena no trim iespējamība, un raundi ir neatkarīgi: vakardienas uzvara neko neliecina par šodienas uzvaru. Tā ir arī maiga iepazīšanās ar spēļu teoriju: vai pastāv uzvaroša stratēģija pret patiesi nejaušu pretinieku? Mērķis: atpazīt vienlīdz ticamus, neatkarīgus rezultātus.
Palaidiet šos tiešraidē ar AhaSlides
Divas šo aktivitāšu daļas tiek veiktas ar rokām: godīgas nejaušības ģenerēšana un visu rezultātu apkopošana pietiekami ātri, lai tos apspriestu. AhaSlides apstrādā abas no telpas priekšpuses.
- Spinner ritenis veic nejaušas izlozes, izvēloties studentu, skaitli vai krāsu, lai grieziens būtu redzams visai klasei un pierādāmi nemainīts.
- Tiešraides aptaujas Apkopojiet eksperimenta datus dažu sekunžu laikā. Katrs skolēns iesniedz galvu skaitīšanas vai kauliņu summas rezultātu, joslu diagramma tiek veidota tiešraidē, un klase uzreiz salīdzina eksperimentālo rezultātu ar teorētisko prognozi.
- Viktorīnas slaidi Pārveidojiet koncepcijas vērtēšanas kārtā, piemēram, "Kāda ir varbūtība uzmest 7?", ar līderu tablo, kas uztur dzīvas debates par taisnīgumu vai paredzamo vērtību.
Tā kā atbildes tiek automātiski uztvertas un diagrammās attēlotas, stunda tiek veltīta spriešanai, nevis skaitīšanai, un apkopotie klases dati ir tieši tas, kas liek darboties lielo skaitļu likumam.
Saliekot to kopā
Varbūtību ir visvieglāk mācīt, ja skolēni var vērot, kā tā notiek. Izvēlieties divas vai trīs šādas spēles katrai nodarbībai: vienu iesildīšanās eksperimentu, vienu mīklu, kas lauž intuīciju, un vienu pazīstamu spēli, kurā atkārtoti izlasām matemātiku. Katru reizi nosauciet jēdzienu, apkopojiet reālus datus un ļaujiet plaisai starp teoriju un eksperimentu veikt mācīšanu.
Atsauces
Freeman, S., Eddy, SL, McDonough, M., Smith, MK, Okoroafor, N., Jordt, H., & Wenderoth, MP (2014). Aktīva mācīšanās uzlabo skolēnu sniegumu zinātnē, inženierzinātnēs un matemātikā. Proceedings of the National Academy of Sciences, 111(23), 8410–8415. https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1319030111
