Gooi een dobbelsteen, gooi een munt op, draai aan een rad, en er gebeurt iets nuttigs: een abstract idee zoals 'één op de zes' wordt iets wat leerlingen kunnen zien, bespreken en meten. Daarom is kansrekening een van de meest geschikte onderdelen van het wiskundecurriculum voor praktijkgericht onderwijs. Leerlingen in lessen die zijn opgebouwd rond actieve opdrachten presteren beter dan hun klasgenoten die alleen hoorcolleges volgen, en uit een analyse van 225 onderzoeken bleek dat leerlingen in traditionele hoorcolleges 1.5 keer meer kans hadden om te zakken dan leerlingen in actieve leeromgevingen (Freeman et al., 2014).
De onderstaande spellen zijn een herwerking van de casino-avondlijst voor in de klas. Bij elk spel staat het kansberekeningsconcept vermeld dat het behandelt, een leerdoel, een indicatie van het niveau en hoe het in de les kan worden toegepast. Niemand zet geld in. De beloning is begrip.
De kansberekeningsconcepten die deze spellen leren
Voor de wedstrijden is hier de kaart. De meeste secundaire kansberekeningen komen neer op een handvol belangrijke ideeën:
- Voorbeeldruimte: Een opsomming van alle mogelijke uitkomsten.
- Theoretische versus experimentele waarschijnlijkheid: Wat zou er op papier moeten gebeuren versus wat er gebeurt als je het probeert.
- Onafhankelijke versus afhankelijke gebeurtenissen: of het ene resultaat de kans op het volgende verandert.
- Verwachte waarde: Het gemiddelde resultaat over vele proeven, en de basis voor een verstandige beslissing.
- Eerlijkheid, combinaties en permutaties: of elke uitkomst even waarschijnlijk is, en hoe je de manieren kunt tellen waarop een gebeurtenis kan plaatsvinden.
Elk spel is voorzien van een label dat het thema behandelt, zodat je het in de juiste les kunt plaatsen.
Opwarmingsexperimenten: theoretische versus experimentele waarschijnlijkheid
1. Stapelvorming bij het opgooien van een munt
Concept: theoretische versus experimentele waarschijnlijkheid, de wet van de grote getallen. Cijfers 5-8. Elke leerling gooit 20 keer met een munt en noteert het aantal kopjes. Individueel zijn de resultaten nogal uiteenlopend: de ene leerling gooit 13 keer kop, de andere 7 keer. Vervolgens worden de resultaten van de hele klas bij elkaar opgeteld. Naarmate het aantal worpen oploopt tot honderden, stabiliseert het gecombineerde aandeel kopjes zich rond de 50%. Doel: leerlingen zien dat een kleine steekproef scheef kan lijken, terwijl het percentage op de lange termijn overeenkomt met de theoretische kans.
2. Twee dobbelstenen som showdown
Concept: steekproefruimte, kansverdelingen. Cijfers 6-9. Vraag welke som het meest waarschijnlijk is bij het gooien van twee dobbelstenen: 2, 7 of 12. De meeste leerlingen raden het verkeerd. Laat ze 30 keer met twee dobbelstenen gooien, tel de resultaten op en maak vervolgens een staafdiagram voor de klas. Zeven wint, omdat deze som op zes manieren kan voorkomen (1+6, 2+5, 3+4 en hun omgekeerde) van de 36 mogelijke uitkomsten, terwijl 2 en 12 er elk maar één hebben. Doel: een verband leggen tussen een gegeven steekproefruimte en een werkelijke verdeling.
3. Verdeel de punten: roze heeft twee keer zoveel kans
Concept: Breuken en percentages, delen van een geheel. Cijfers 4-5. Op deze leeftijd beginnen leerlingen net te begrijpen dat 100 een geheel vertegenwoordigt (100%) en leren ze basisbreuken, dus houd de opdracht eenvoudig en laagdrempelig. Stel een regel in begrijpelijke taal, zoals: "Roze zou twee keer zo waarschijnlijk moeten zijn als groen, en oranje en zwart zouden evenveel kans moeten hebben", en laat elke leerling 100 punten verdelen over de vier kleuren, zodat hun verdeling aan deze regel voldoet. Er worden geen punten toegekend en er is geen enkel juist antwoord, zodat leerlingen vrijuit kunnen experimenteren in plaats van te bevriezen bij een foute gok. Doel: een abstracte verhouding omzetten in een concreet percentage van een geheel en de redenering controleren door te kijken of de verdeling van elke leerling daadwerkelijk optelt tot 100 en overeenkomt met de gestelde verhouding.
Met de AhaSlides-slide 'Split the Points' kan de docent vier categorieën en een maximum van 100 punten instellen; elke leerling dient zijn of haar eigen verdeling in, en de resultaten worden direct weergegeven als een cirkeldiagram. Zo kan de klas de verdelingen onmiddellijk vergelijken met de gestelde regel en bespreken wie het dichtst bij de juiste score zat en waarom.
4. Draai aan het rad: eerlijk versus oneerlijk
Concept: Eerlijke versus oneerlijke uitkomsten, breuken en verhoudingen. Cijfers 4-7. Begin met een draaischijf die is verdeeld in gelijke gekleurde vakken, en ga vervolgens over op een draaischijf waarbij één kleur de helft van de vakken inneemt. Leerlingen doen een voorspelling, draaien meerdere keren aan de schijf en vergelijken de uitkomsten. Doel: de kans uitdrukken als een breuk van het geheel en het verschil ervaren tussen een draaischijf met gelijke kansen en een draaischijf met verzwaarde uitkomsten.
Download gratis de sjabloon voor het kansberekeningswiel. Om precies dit spel te spelen, leraar tegen klas, waarbij de kansen al in elke ronde zijn verwerkt.
5. Kaarttrekkingen: met en zonder teruglegging
Concept: onafhankelijke versus afhankelijke gebeurtenissen, voorwaardelijke kans. Cijfers 8-10. Trek een kaart, noteer deze en vraag naar de kans op een aas bij de volgende trekking. Doe dit twee keer: één keer met terugleggen van de kaart, één keer met wegleggen van de kaart. Met terugleggen blijven de kansen elke keer 4/52 (onafhankelijk). Zonder terugleggen krimpt de stapel en verschuiven de kansen (afhankelijk). Een snel potje Uno illustreert hetzelfde: zodra kaarten uit de stapel verdwijnen, verandert wat er nog getrokken kan worden. Doel: onderscheid maken tussen onafhankelijke en afhankelijke gebeurtenissen.
Kansspelletjes die tot discussie aanzetten
6. Het Monty Hall-probleem
Concept: voorwaardelijke kans. Cijfers 9-12. Drie deuren, één prijs. Een leerling kiest een deur, jij onthult een van de twee verliezende deuren en biedt vervolgens een ruiloptie aan. Moet de leerling die accepteren? Ruilen levert twee van de drie keer winst op, wat bijna niemand gelooft totdat de klas het 30 keer simuleert en de resultaten telt. Doel: aantonen dat nieuwe informatie de kansberekening beïnvloedt en dat intuïtie misleidend kan zijn.
7. Gulzig Varken
Concept: Verwachte waarde, besluitvorming onder risico. Cijfers 6-9. De hele klas staat op. Je gooit met één dobbelsteen en iedereen telt de punten op, maar als je een 1 gooit, verliest iedereen die nog staat zijn of haar punten voor de ronde. Spelers gaan zitten als ze hun punten willen bewaren. De berekening: nog één worp is de moeite waard totdat je score boven de 20 komt, waarna de verwachte winst negatief wordt. Doel: de verwachte waarde gebruiken om een echte beslissing te nemen.
8. Is dit spel eerlijk?
Concept: eerlijkheid, het vergelijken van waarschijnlijkheden. Cijfers 7-10. Geef duo's een regel zoals: "Speler A scoort als de som van de twee dobbelstenen even is, speler B als deze oneven is", of "A wint bij een product van meer dan 12". Studenten spelen, vermoeden een onevenwichtigheid en bewijzen dit vervolgens met behulp van de steekproefruimte. Doel: eerlijkheid beoordelen op basis van bewijs, niet op basis van een onderbuikgevoel, en vervolgens een oneerlijke regel herontwerpen om deze in evenwicht te brengen.
9. De verjaardagsparadox
Concept: complementaire waarschijnlijkheid, combinaties. Cijfers 9-12. Vraag hoeveel mensen je nodig hebt voordat de kans groter is dan 50% dat twee mensen dezelfde verjaardag hebben. Het antwoord, 23, verrast de meeste klassen. Kijk dan eens in je eigen klas: met 30 leerlingen is de kans ongeveer 70%. De truc is om te tellen op hoeveel manieren verjaardagen van elkaar kunnen verschillen en dat van 1 af te trekken. Doel: gebruik complementair tellen om tot een verrassend resultaat te komen.
Klassieke spellen, herlezen als lessen in kansberekening.
10. Jahtzee
Concept: combinaties, waarschijnlijkheid van specifieke uitkomsten. Cijfers 6-9. Naast het plezier is Yahtzee een kansberekeningsmachine. Wat is de kans om bij de eerste worp drie gelijke kaarten te gooien? Moet een speler twee paren houden of een straight proberen te maken? Doel: de kansen op bepaalde uitkomsten inschatten en deze gebruiken om keuzes te maken.
11. Monopoly, de kansberekeningsversie
Concept: toegepaste verdelingen. Cijfers 7-10. Omdat je beweegt op basis van de som van twee dobbelstenen, worden sommige vakjes veel vaker geraakt dan andere, en als je uit de gevangenis komt, worden de vakjes vooral oranje en rood geraakt. Laat de leerlingen de meest geraakte vakjes voorspellen en tel vervolgens het aantal keren dat ze op een vakje terechtkomen gedurende een spel. Doel: de verdeling van de worpen met twee dobbelstenen toepassen op een bekend speelbord.
12. bingo
Concept: willekeurige trekkingen zonder teruglegging, verhoudingen. Cijfers 4-7. Naarmate nummers worden getrokken en niet worden teruggegeven, verandert de kans dat de volgende trekking je kaart helpt. Vraag leerlingen om hun kans op een rij in te schatten vóór en nadat er 10 nummers zijn getrokken. Doel: redeneren over een krimpende groep van even waarschijnlijke trekkingen.
13. Steen-papier-schaar
Concept: gelijke waarschijnlijke uitkomsten, onafhankelijke gebeurtenissen. Cijfers 5-8. Bij willekeurig spel heeft elke worp een kans van één op drie, en de rondes zijn onafhankelijk: de winst van gisteren zegt niets over de winst van vandaag. Het is tevens een laagdrempelige kennismaking met de speltheorie: bestaat er een winnende strategie tegen een werkelijk willekeurige tegenstander? Doel: het herkennen van gelijkwaardige, onafhankelijke uitkomsten.
Voer deze live uit met AhaSlides.
Twee onderdelen van deze activiteiten zijn handmatig lastig uit te voeren: het genereren van eerlijke willekeurigheid en het snel genoeg samenvoegen van ieders resultaten om ze te kunnen bespreken. AhaSlides neemt beide taken voor u over vanuit de zaal.
- Spinner wiel De loting vindt plaats door willekeurig een leerling, een nummer of een kleur te kiezen, zodat de hele klas de draai kan zien en aantoonbaar niet gemanipuleerd is.
- Live peilingen Verzamel experimentele gegevens in seconden. Elke leerling geeft een telling van kop of een dobbelsteenworp door, de staafgrafiek wordt direct gegenereerd en de klas vergelijkt het experimentele resultaat onmiddellijk met de theoretische voorspelling.
- Quizdia's Zet de concepten om in een scoreronde, zoals "Wat is de kans om een 7 te gooien?", met een scorebord dat de discussie over eerlijkheid of verwachte waarde levendig houdt.
Doordat de antwoorden automatisch worden vastgelegd en in grafieken worden weergegeven, besteed je de les aan het redeneren in plaats van aan het tellen van de resultaten. De gecombineerde gegevens van de klas zorgen er juist voor dat de wet van de grote getallen duidelijk wordt.
Het samenbrengen
Kansrekening is het makkelijkst te onderwijzen wanneer leerlingen het in de praktijk kunnen zien. Kies twee of drie van deze spelletjes voor een les: een opwarmexperiment, een puzzel die de intuïtie op de proef stelt en een bekend spel waarbij de wiskundige uitleg wordt herhaald. Benoem het concept elke keer, verzamel echte gegevens en laat de kloof tussen theorie en experiment het leerproces verzorgen.
Referenties
Freeman, S., Eddy, SL, McDonough, M., Smith, MK, Okoroafor, N., Jordt, H., & Wenderoth, MP (2014). Actief leren verhoogt de prestaties van studenten in de wetenschap, techniek en wiskunde. Proceedings of the National Academy of Sciences, 111(23), 8410-8415. https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1319030111
