Бросьте игральную кость, подбросьте монету, покрутите колесо, и произойдет нечто полезное: абстрактная идея, например, «один из шести», превращается в нечто, что студенты могут увидеть, обсудить и измерить. Именно поэтому теория вероятности является одним из самых благоприятных уголков математической программы для практического обучения. Студенты, обучающиеся на занятиях, построенных на активных задачах, показывают лучшие результаты, чем их сверстники, обучающиеся только на лекциях, а анализ 225 исследований показал, что студенты на традиционных лекциях в 1.5 раза чаще проваливают экзамены, чем студенты в классах с активным обучением (Freeman et al., 2014).
Приведённые ниже игры — это переработанный для школьного класса список игр, аналогичный списку игр в казино. В каждой игре указано изучаемое понятие вероятности, учебная цель, примерный диапазон оценок и способ проведения урока. Никто не ставит деньги. Результат — понимание.
Понятия вероятности, которым учат эти игры.
Перед началом игр вот карта. Большинство вторичных стандартов теории вероятности сводятся к нескольким основным идеям:
- Пример пространства: перечислив все возможные исходы.
- Теоретическая и экспериментальная вероятность: Что должно происходить на бумаге, и что происходит на практике.
- Независимые и зависимые события: влияет ли один результат на вероятность следующего.
- Ожидаемое значение: Средний результат, полученный в ходе множества испытаний, и основа для принятия взвешенного решения.
- Справедливость, сочетания и перестановки: является ли каждый исход одинаково вероятным, и как подсчитать количество возможных исходов события.
Каждая игра помечена соответствующей темой, поэтому вы можете включить ее в нужный урок.
Разминочные эксперименты: теоретическая и экспериментальная вероятность
1. Нагромождение результатов подбрасывания монеты
Концепция: Теоретическая и экспериментальная вероятность, закон больших чисел. 5-8 классы. Каждый ученик подбрасывает монету 20 раз и записывает выпавшие орлы. Результаты по отдельности получаются не очень точными: у одного ученика 13 орлов, у другого — 7. Затем суммируются данные всего класса. По мере того, как количество подбрасываний достигает сотен, общая доля орлов приближается к 50%. Цель: показать ученикам, что небольшая выборка может выглядеть несбалансированной, в то время как долгосрочная вероятность соответствует теоретической.
2. Состязание по суммированию результатов двух игральных костей.
Концепция: Пространство элементарных исходов, вероятностные распределения. 6-9 классы. Спросите, какая сумма наиболее вероятна при броске двух игральных костей: 2, 7 или 12. Большинство учеников угадывают неправильно. Предложите им бросить две игральные кости 30 раз, подсчитать суммы, а затем построить столбчатую диаграмму для всего класса. Выигрывает семёрка, потому что у неё шесть вариантов развития событий (1+6, 2+5, 3+4 и их обратные варианты) из 36 возможных, в то время как у 2 и 12 только один вариант. Цель: связать указанное пространство элементарных исходов с действительным распределением.
3. Разделите баллы: розовый цвет встречается в два раза чаще.
Концепция: Дроби и проценты, части целого. 4-5 классы. В этом возрасте ученики только начинают понимать, что 100 представляет собой целое (100%), и изучают основные дроби, поэтому формулируйте простые и понятные задания. Предложите простое правило, например: «Розовый цвет должен иметь вдвое большую вероятность выпадения, чем зеленый, а оранжевый и черный — равную вероятность», и попросите каждого ученика распределить 100 баллов между четырьмя цветами так, чтобы их распределение соответствовало этому правилу. Ничего не оценивается, и нет единственно правильного ответа, поэтому ученики могут свободно экспериментировать, а не замирать от страха, что угадают неправильно. Цель: превратить абстрактное соотношение в конкретный процент от целого и проверить правильность рассуждений, убедившись, что распределение каждого ученика действительно в сумме дает 100 и соответствует заявленному соотношению.
Слайд AhaSlides «Разделите баллы» позволяет учителю настроить четыре категории и общий пул из 100 баллов; каждый ученик отправляет свой результат, и результаты отображаются в режиме реального времени в виде круговой диаграммы, так что класс может немедленно сравнить результаты с заданным правилом и обсудить, кто показал наиболее близкие результаты и почему.
4. Покрутите колесо: справедливое против несправедливого
Концепция: Справедливые и несправедливые результаты, доли и соотношения. 4-7 классы. Начните с колеса, разделенного на равные по цвету секции, затем перейдите к колесу, где половина занята одним цветом. Ученики делают предположения, многократно вращают колесо и сравнивают результаты. Цель: выразить вероятность в виде доли от целого и почувствовать разницу между колесом с равными шансами и колесом с утяжелителями.
Скачайте бесплатный шаблон колеса вероятности. чтобы провести именно такую игру, учитель против класса, с уже заданными шансами в каждом раунде.
5. Вытягивание карт: с заменой и без замены
Концепция: Независимые и зависимые события, условная вероятность. 8-10 классы. Вытяните карту, запишите её и спросите о вероятности выпадения туза при следующем вытягивании. Сделайте это дважды: один раз верните карту на место, второй раз оставьте её вне колоды. При возвращении карты вероятность остаётся 4/52 каждый раз (независимое событие). Без возвращения колоды количество карт уменьшается, и вероятность меняется (зависимое событие). Быстрый раунд Uno подтверждает это: как только карты покидают колоду, меняется и то, что остаётся для вытягивания. Цель: различать независимые и зависимые события.
Вероятностные головоломки, вызывающие дискуссии
6. Проблема Монти Холла
Концепция: Условная вероятность. 9-12 классы. Три двери, один приз. Ученик выбирает одну дверь, вы показываете одну из двух других, которая окажется проигрышной, а затем предлагаете обменяться. Стоит ли ему это делать? Обмен оказывается выигрышным в двух случаях из трех, чему почти никто не верит, пока класс не смоделирует это 30 раз и не посчитает результаты. Цель: показать, что новая информация обновляет вероятность, и что интуиция может ввести в заблуждение.
7. Жадная свинья
Концепция: Ожидаемая ценность, принятие решений в условиях риска. 6-9 классы. Весь класс встает. Вы бросаете одну игральную кость, и все накапливают очки, но если выпадает 1, то все, кто остался стоять, теряют свои очки за раунд. Игроки садятся, когда хотят сохранить свои очки. Математика: еще один бросок стоит того, пока ваш невостребованный счет не превысит примерно 20, после чего ожидаемый выигрыш становится отрицательным. Цель: использовать ожидаемое значение для принятия реального решения.
8. Честна ли эта игра?
Концепция: Справедливость, сравнение вероятностей. 7-10 классы. Дайте парам правило, например: «Игрок А получает очки, если сумма выпавших чисел на двух кубиках четная, игрок Б — если нечетная» или «А выигрывает, если произведение больше 12». Ученики играют, подозревают дисбаланс, а затем доказывают его с помощью выборочного пространства. Цель: оценить справедливость на основе доказательств, а не интуиции, а затем переработать несправедливое правило, чтобы его сбалансировать.
9. Парадокс дня рождения
Концепция: Дополнительная вероятность, комбинации. 9-12 классы. Спросите, сколько человек должно быть, чтобы вероятность того, что у двоих один и тот же день рождения, была выше, чем вероятность того, что это произойдёт. Ответ, 23, ошеломляет большинство классов. Затем проверьте свой класс: при 30 учениках вероятность составляет около 70%. Хитрость заключается в подсчете различий между днями рождения и вычитании из 1. Цель: использовать метод дополнительного подсчета, чтобы получить неожиданный результат.
Классические игры, перечитанные как уроки теории вероятности.
10. Яцзи
Концепция: комбинации, вероятность конкретных исходов. 6-9 классы. Помимо развлечения, Яхтзи — это игра на вероятность. Какова вероятность выпадения трёх одинаковых карт с первого броска? Должен ли игрок оставить две пары или попытаться собрать стрит? Цель: оценить вероятность целевых исходов и использовать её для принятия решений.
11. Монополия, вероятностная версия
Концепция: примененные распределения. 7-10 классы. Поскольку вы перемещаетесь в зависимости от суммы двух бросков кубиков, на некоторые клетки попадает гораздо больше игроков, чем на другие, а выход из тюрьмы притягивает игроков к оранжевым и красным клеткам. Предложите ученикам предсказать, на какие клетки попадут больше всего игроков, а затем подсчитать количество попаданий за игру. Цель: применить распределение двух бросков кубиков к знакомой игровой доске.
12. бинго
Концепция: Случайные выборки без возвращения, соотношения. 4-7 классы. Поскольку номера разыгрываются, но не возвращаются, вероятность того, что следующий розыгрыш поможет вашей карте, меняется каждый раз. Попросите студентов оценить свои шансы на выигрыш до и после того, как выпадут 10 номеров. Цель: рассуждать о сужающемся пуле равновероятных розыгрышей.
13. Камень-ножницы-бумага
Концепция: Равновероятные исходы, независимые события. 5-8 классы. При случайной игре каждый бросок имеет шанс один к трём, и раунды независимы: вчерашняя победа ничего не говорит о сегодняшней. Это также плавно переходит в теорию игр: существует ли выигрышная стратегия против действительно случайного противника? Цель: распознавать равновероятные, независимые исходы.
Проведите эти презентации в режиме реального времени с помощью AhaSlides.
Две части этих заданий требуют тщательной ручной обработки: генерация случайных чисел и быстрое объединение результатов всех участников для их обсуждения. AhaSlides решает обе эти задачи, находясь перед аудиторией.
- Spinner Wheel Проводятся ли случайные розыгрыши, в которых выбирается ученик, число или цвет, так что результат вращения виден всему классу и доказано, что розыгрыш не был сфальсифицирован?
- Живые опросы Собирайте экспериментальные данные за считанные секунды. Каждый студент отправляет результат подсчета выпавших чисел или сумму выпавших чисел на кубиках, столбчатая диаграмма строится в режиме реального времени, и класс мгновенно сравнивает экспериментальный результат с теоретическим предсказанием.
- Слайды викторины Превратите эти концепции в раунд с подсчетом очков, например, «Какова вероятность выпадения семерки на кубике?», с таблицей лидеров, которая поддерживает оживленную дискуссию о справедливости или ожидаемой ценности.
Поскольку ответы автоматически фиксируются и отображаются на графике, вы можете посвятить урок рассуждениям, а не подсчету результатов, и именно объединенные данные по всему классу позволяют в полной мере применить закон больших чисел.
Объединяя это
Теорию вероятности проще всего преподавать, когда ученики могут наблюдать за её развитием. Выберите две-три из этих игр для каждого раздела: один разминочный эксперимент, одну головоломку, которая проверяет интуицию, и одну знакомую игру, которую нужно перечитать, проанализировав математические выкладки. Каждый раз называйте понятие, собирайте реальные данные, и пусть разрыв между теорией и экспериментом сам по себе станет уроком.
Референсы
Фриман, С., Эдди, С.Л., Макдоноу, М., Смит, М.К., Окороафор, Н., Йордт, Х., и Вендерот, М.П. (2014). Активное обучение повышает успеваемость студентов в области естественных наук, инженерии и математики. Труды Национальной академии наук, 111(23), 8410-8415. https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1319030111
