擲骰子、拋硬幣、轉動輪盤，就能產生一些有用的結果：像「六分之一」這樣的抽象概念變成了學生可以觀察、討論和測量的事物。正因如此，機率論是數學課程中最適合實踐教學的領域之一。圍繞實踐任務設計的課堂上的學生表現優於只聽講授的學生。一項針對225項研究的分析發現，傳統講授式課堂的學生不及格的可能性是實踐學習課堂學生的1.5倍（Freeman et al., 2014）。
以下遊戲清單改編自賭場之夜遊戲，專為課堂教學而設計。每個遊戲都包含所教的機率概念、學習目標、大致的評分範圍以及如何在課堂上進行教學。遊戲中不涉及真錢投注，玩家的收穫是理解。
這些遊戲所教的機率概念
遊戲開始前，先來看看這張地圖。大多數中學機率論標準都可以歸結為幾個核心概念：
- 樣本空間： 列出所有可能的結果。
- 理論機率與實驗機率： 紙面上應該發生的情況與實際操作中發生的情況之間的差異。
- 獨立事件與相關事件： 一個結果是否會影響下一個結果的機率。
- 預期值： 多次試驗的平均結果，也是做出明智決策的基礎。
- 公平性、組合與排列： 每種結果發生的可能性是否相等，以及如何計算事件發生的方式。
每個遊戲都標有它所針對的概念，因此您可以將其放入正確的課程中。
熱身實驗：理論機率與實驗機率
1. 拋硬幣堆疊
概念： 理論機率與實驗機率，大數定律。 5-8 年級。 每位學生拋擲硬幣 20 次，並記錄正面朝上的次數。單獨來看，結果並不均勻：一個學生拋出了 13 次正面，另一個學生拋出了 7 次。然後將全班的總次數匯總起來。隨著拋擲次數增加到數百次，正面朝上的比例逐漸穩定在 50% 左右。目標：讓學生明白，小樣本的結果可能看起來不平衡，但長期來看，正面朝上的比例與理論機率相符。
2. 雙骰子點數總和攤牌
概念： 樣本空間，機率分佈。 6-9 年級。 詢問學生擲兩顆骰子後，哪一支骰子點數總和最有可能出現：2、7 還是 12。大多數學生猜錯了。讓他們擲兩顆骰子 30 次，統計點數總和，然後製作全班長條圖。結果顯示，點數總和為 7 的機率最高，因為在 36 種可能的結果中，有 6 種可能出現（1+6、2+5、3+4 及其反轉），而點數總和為 2 和 12 各只有一種可能出現。目標：將列出的樣本空間與實際分佈連結起來。
3. 平分分數：粉紅色出現的可能性是白色出現的兩倍
概念： 分數和百分比，整體的一部分。 4-5 年級。 在這個年齡段，學生剛開始理解100代表一個整體（100%），並且正在學習基本的分數概念，所以要保持活動簡短易懂，並且降低風險。提出一個簡單易懂的規則，例如“粉紅色出現的機率應該是綠色的兩倍，橙色和黑色出現的機率應該相等”，然後讓每個學生將100分分配到四種顏色上，直到他們的分配符合這個規則。活動不計分，也沒有唯一的正確答案，所以學生可以自由嘗試，而不會因為猜錯而感到沮喪。活動目標：將抽象的比例轉化為整體的具體百分比，並透過檢查每個學生的分配是否真的等於100以及是否符合既定的關係來檢驗他們的推理能力。
AhaSlides 的「分配分數」幻燈片允許教師設置四個類別和一個 100 分的獎池；每個學生提交自己的分數分配，結果會實時以餅圖的形式顯示，這樣全班同學就可以立即將分數分配與規定的規則進行比較，並討論誰最接近以及原因。
4. 轉動輪盤：公平 vs 不公平
概念： 公平與不公平的結果、分數和比率。 4-7 年級。 首先使用一個被等分成不同顏色區域的轉盤，然後換成一個每種顏色佔據一半區域的轉盤。學生進行預測，多次轉動轉盤，然後進行比較。目標：將機率表示為整體的分數，並感受等機率轉盤和加權轉盤之間的差異。
取得免費的機率轉盤模板 要進行這場教師對學生的比賽，每輪比賽的勝負都已預先設定好。
5. 抽牌：有放回和無放回。
概念： 獨立事件與相關事件，條件機率。 8-10 年級。 抽一張牌，記下牌面，然後問下次抽牌抽到A的機率。重複兩次：一次放回牌堆，一次不放回。放回牌堆後，每次抽到A的機率都是4/52（獨立事件）。不放回牌堆後，牌堆會變小，機率也會改變（相關事件）。玩一局UNO也能說明同樣的問題：一旦牌被放回牌堆，剩餘的牌就會改變。目標：區分獨立事件和相關事件。
引發討論的機率謎題
6. 蒙提霍爾問題
概念： 條件機率。 9-12 年級。 三扇門，一個獎品。學生選了一扇門，你揭曉另外兩扇門中一扇是「輸」的，然後提出換門。他們應該換嗎？換門的機率是三分之二，幾乎沒人相信，直到全班模擬30次並統計結果為止。目的：證明新資訊會更新機率，直覺可能會誤導。
7. 貪婪的豬
概念： 預期價值，風險下的決策。 6-9 年級。 全班同學站著。擲一顆骰子，所有人的分數累積；如果擲出1點，則所有站著的人本輪得分全部清零。玩家想要保留已有分數時可以坐下。計算方法：在未保留分數超過20分之前，再擲一次骰子是值得的；超過20分後，預期收益將變為負值。目標：運用期望值來指導實際決策。
8. 這個遊戲公平嗎？
概念： 公平性，比較機率。 7-10 年級。 給每組玩家設定一條規則，例如「如果兩個骰子的點數總和為偶數，則玩家 A 得分；如果為奇數，則玩家 B 得分」或「如果點數總和大於 12，則玩家 A 獲勝」。學生進行遊戲，懷疑規則有不公平之處，然後用樣本空間證明這一點。目標：透過證據而非直覺來判斷規則的公平性，然後重新設計不公平的規則使其平衡。
9. 生日悖論
概念： 互補機率，組合。 9-12 年級。 問：需要多少人才能讓兩個人同一天生日的機率大於 50%？答案是 23，這讓大多數班級都大吃一驚。然後看看你自己的班級：30 個學生中，這個機率大約是 70%。訣竅在於計算生日可能出現的各種不同情況，然後用 1 減去這些情況。目標：運用互補計數法得出令人驚訝的結果。
經典遊戲，重新解讀為機率論課程
10. 快艇
概念： 各種組合，特定結果的機率。 6-9 年級。 除了娛樂性之外，擲骰子遊戲（Yahtzee）也是一個機率引擎。第一次擲骰子擲出三個相同點數的機率是多少？玩家應該保留兩對點數還是追求順子？遊戲目標：估算目標結果的機率並以此做出選擇。
11. 大富翁，機率版
概念： 應用分佈。 7-10 年級。 因為移動取決於兩個骰子的點數之和，所以有些方格被踩到的次數遠多於其他方格，而且從監獄出來會吸引更多人流湧向橙色和紅色區域。請學生預測哪些方格是熱門區域，然後在遊戲中統計踩到的次數。目標：將雙骰分佈應用於熟悉的棋盤上。
12。 賓果
概念： 不放回的隨機抽樣，比例。 4-7 年級。 隨著號碼被抽出且未返回，下一次叫號能讓你抽到牌的機率每次都會改變。請學生在抽出10個號碼前後分別估算自己抽到牌的機率。目標：推理等機率抽取結果池逐漸縮小的情況。
13. 石頭剪刀布
概念： 結果等可能，事件獨立。 5-8 年級。 在隨機賽局中，每次投擲的機率都是三分之一，而且每一輪都是獨立的：昨天的勝利並不能預示今天的結果。這也為賽局理論提供了一個切入點：是否存在對抗完全隨機對手的勝利策略？目標：辨識機率相等且相互獨立的各種結果。
使用 AhaSlides 即時運行這些幻燈片
這些活動中有兩個部分手動操作起來比較繁瑣：產生公平的隨機數，以及快速匯總所有人的結果以便進行討論。 AhaSlides 可以從教室前方輕鬆處理這兩個部分。
- 轉輪 進行隨機抽籤，挑選一名學生、一個數字或一種顏色，因此每次抽籤對全班同學都是可見的，並且可以證明抽籤過程沒有作弊。
- 現場投票 幾秒鐘內即可收集實驗數據。每位學生提交正面朝上的次數或骰子點數總和，長條圖即時生成，全班同學當場將實驗結果與理論預測進行比較。
- 測驗投影片 將這些概念轉化為計分回合，例如“擲出 7 的機率是多少？”，並設定排行榜，使公平性或期望值的辯論保持活躍。
由於答案會自動記錄和繪製圖表，所以你可以把時間花在推理上，而不是統計上，而匯總的班級數據正是大數定律得以實現的關鍵。
將其整合在一起
機率論最容易教的方式就是讓學生親眼觀察它的發展過程。每個單元可以選擇兩到三個這樣的遊戲：一個暖身實驗，一個打破直覺的謎題，以及一個熟悉的、可以複習數學知識的遊戲。每次都要明確指出概念，收集真實數據，讓理論與實驗之間的差距起到教學作用。
參考
Freeman, S., Eddy, SL, McDonough, M., Smith, MK, Okoroafor, N., Jordt, H., & Wenderoth, MP (2014). 主動學習提升學生在科學、工程和數學方面的表現。 《美國國家科學院院刊》，111(23), 8410-8415。 https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1319030111
