Hoďte kostkou, hoďte mincí, roztočte kolečkem a stane se něco užitečného: abstraktní myšlenka jako „jedna ze šesti“ se promění v něco, co studenti mohou vidět, o čem mohou polemizovat a co mohou měřit. Proto je pravděpodobnost jedním z nejpřívětivějších koutů matematického kurikula pro praktickou výuku. Studenti ve třídách postavených na aktivních úkolech dosahují lepších výsledků než studenti, kteří se věnují pouze přednáškám, a jedna analýza 225 studií zjistila, že studenti v tradičních přednáškách měli 1.5krát vyšší pravděpodobnost neúspěchu než ti v třídách s aktivním učením (Freeman a kol., 2014).
Níže uvedené hry jsou seznamem her pro kasinové večery přepsaným pro výuku. Každá z nich uvádí koncept pravděpodobnosti, který vyučuje, cíl učení, přibližné hodnocení a jak ho v hodině použít. Nikdo nesází peníze. Odměnou je pochopení.
Pravděpodobnostní koncepty, které tyto hry učí
Před hrami je zde mapa. Většina standardů sekundární pravděpodobnosti se redukuje na několik důležitých myšlenek:
- Ukázkový prostor: vyjmenování všech možných výsledků.
- Teoretická vs. experimentální pravděpodobnost: co by se mělo stát na papíře vs. co se stane, když to zkusíte.
- Nezávislé vs. závislé události: zda jeden výsledek změní pravděpodobnost výsledku dalšího.
- Očekávaná hodnota: průměrný výsledek mnoha pokusů a základ pro inteligentní rozhodnutí.
- Spravedlnost, kombinace a permutace: zda je každý výsledek stejně pravděpodobný a jak spočítat způsoby, jakými může událost nastat.
Každá hra je označena myšlenkou, na kterou se zaměřuje, takže ji můžete zařadit do správné lekce.
Zahřívací experimenty: teoretická vs. experimentální pravděpodobnost
1. Hromadění mincí
Pojem: teoretická vs. experimentální pravděpodobnost, zákon velkých čísel. Ročníky 5-8. Každý student hodí mincí 20krát a zaznamená si, kolik padne mincí. Jednotlivé výsledky jsou nepřehledné: jeden student dostane 13 hodů mincí, jiný 7. Poté se sečtou čísla celé třídy. Jak počet hodů stoupá na stovky, celkový podíl hodů mincí se ustálí na blízké 50 %. Cíl: Studenti si uvědomí, že malý vzorek může vypadat nevyváženě, zatímco dlouhodobá pravděpodobnost odpovídá teoretické pravděpodobnosti.
2. Součet dvou kostek
Pojem: výběrový prostor, rozdělení pravděpodobnosti. Ročníky 6-9. Zeptejte se studentů, který součet je nejpravděpodobnější při hodu dvěma kostkami: 2, 7 nebo 12. Většina studentů se mýlí. Nechte je hodit dvěma kostkami 30krát, sečíst součty a poté sestavte sloupcový graf pro třídu. Sedm vyhrává, protože má šest způsobů, jak se vyskytnout (1+6, 2+5, 3+4 a jejich obrácené varianty) z 36 výsledků, zatímco 2 a 12 mají pouze jeden. Cíl: propojit uvedený výběrový prostor s reálným rozdělením.
3. Rozdělte body: růžová je dvakrát pravděpodobnější
Pojem: zlomky a procenta, části celku. Ročníky 4-5. V tomto věku studenti teprve začínají chápat, že 100 představuje celek (100 %), a učí se základní zlomky, proto se držte stručných, jednoduchých a nenáročných pravidel. Stanovte pravidlo srozumitelným jazykem, například „Růžová by měla mít dvakrát větší pravděpodobnost než zelená a oranžová a černá by měly mít stejnou šanci“, a nechte každého studenta rozdělit 100 bodů mezi čtyři barvy tak, aby jeho rozdělení splňovalo jeho požadavky. Nic se neboduje a neexistuje jediná správná odpověď, takže studenti mohou volně experimentovat, místo aby se zarazili kvůli chybnému hádání. Cíl: přeměnit abstraktní poměr na konkrétní procento z celku a ověřit si zdůvodnění tím, že zjistíte, zda součet rozdělení každého studenta skutečně dává 100 a odpovídá uvedenému vztahu.
Snímek AhaSlides s názvem „Split the Points“ umožňuje učiteli nastavit čtyři kategorie a 100bodový fond; každý student odešle svůj vlastní split a výsledky se zobrazí v reálném čase jako koláčový graf, takže třída může okamžitě porovnat split s daným pravidlem a probrat, kdo se k němu nejvíce přiblížil a proč.
4. Roztočte kolo: fér vs. nespravedlivé
Pojem: spravedlivé vs. nespravedlivé výsledky, zlomky a poměry. Ročníky 4-7. Začněte s kolem rozděleným na stejně barevné části a poté přejděte na kolo, kde jedna barva zabírá polovinu. Studenti předpovídají, mnohokrát točí a porovnávají. Cíl: vyjádřit pravděpodobnost jako zlomek celku a pocítit rozdíl mezi spinnerem se stejnou pravděpodobností a váženým spinnerem.
Získejte bezplatnou šablonu kola pravděpodobnosti spustit přesně tuto hru, učitel vs. třída, s kurzy již zabudovanými v každém kole.
5. Tažení karet: s náhradou a bez ní
Pojem: nezávislé vs. závislé jevy, podmíněná pravděpodobnost. Ročníky 8-10. Lízněte kartu, poznamenejte si ji a zeptejte se na šanci na eso při dalším tahu. Udělejte to dvakrát: jednou kartu vyměňte, jednou ji nenechte. S výměnou zůstává pravděpodobnost pokaždé 4/52 (nezávislé). Bez výměny se balíček zmenší a pravděpodobnost se posune (závislé). Rychlé kolo hry Uno ukazuje totéž: jakmile karty opustí hromádku, změní se to, co zbývá k tažení. Cíl: rozlišit nezávislé a závislé události.
Pravděpodobnostní hádanky, které podněcují diskusi
6. Problém Montyho Halla
Pojem: podmíněná pravděpodobnost. Ročníky 9-12. Tři dveře, jedna cena. Student si vybere jedny dveře, vy odhalíte jedny, které prohrají, a pak nabídnete výměnu. Měli by si ji vzít? Výměna vyhrává dvakrát ze tří případů, čemuž téměř nikdo nevěří, dokud si to třída 30krát nenasimuluje a nezapočítá. Cíl: ukázat, že nové informace aktualizují pravděpodobnost a že intuice může být zavádějící.
7. Chamtivé prase
Pojem: očekávaná hodnota, rozhodování v podmínkách rizika. Ročníky 6-9. Celá třída stojí. Hodíte jednou kostkou a všichni shromažďují skóre, ale hodíte 1 a každý, kdo stále stojí, ztratí body za kolo. Hráči si sednou, když si chtějí uložit, co mají. Matematika: ještě jeden hod se vyplatí, dokud vaše nebankovní skóre nepřesáhne přibližně 20, kde se očekávaný zisk změní na záporný. Cíl: použít očekávanou hodnotu k vedení skutečného rozhodnutí.
8. Je tato hra férová?
Pojem: spravedlnost, porovnávání pravděpodobností. Ročníky 7-10. Dejte dvojicím pravidlo, například „Hráč A skóruje, pokud je součet dvou kostek sudý, hráč B, pokud je lichý“ nebo „A vyhrává se součinem větším než 12“. Studenti hrají, podezřívají nerovnováhu a poté ji dokážou pomocí vzorového prostoru. Cíl: posoudit spravedlnost na základě důkazů, nikoli intuice, a poté přepracovat pravidlo o nespravedlivosti tak, aby to vyvážilo.
9. Paradox narozenin
Pojem: doplňková pravděpodobnost, kombinace. Ročníky 9-12. Zeptejte se, kolik lidí potřebujete, než se stane, že dva studenti budou mít stejné narozeniny. Odpověď 23 ohromí většinu tříd. Pak se podívejte do své vlastní třídy: s 30 studenty je pravděpodobnost asi 70 %. Trik spočívá v spočítání rozdílů mezi narozeninami a odečtení od 1. Cíl: pomocí doplňkového počítání dosáhnete překvapivého výsledku.
Klasické hry, znovu čtené jako lekce pravděpodobnosti
10. Jatzí
Pojem: kombinace, pravděpodobnost konkrétních výsledků. Ročníky 6-9. Kromě zábavy je Yahtzee také pravděpodobnostním nástrojem. Jaká je šance, že se vám při prvním hodu objeví trojice? Měl by si hráč ponechat dva páry, nebo se snažit o postupku? Cíl: odhadnout pravděpodobnost cílových výsledků a použít je k rozhodování.
11. Monopol, pravděpodobnostní verze
Pojem: aplikované distribuce. Ročníky 7-10. Protože se pohybujete na základě součtu hodů dvěma kostkami, některá políčka padnou mnohem častěji než jiná a návrat z vězení přitáhne diváky k oranžovým a červeným políčkům. Nechte studenty předpovědět, která políčka jsou nejdůležitější, a poté spočítat hody v průběhu hry. Cíl: aplikovat rozdělení hodů dvěma kostkami na známou hrací desku.
12. bingo
Pojem: náhodné losování bez náhrady, poměry. Ročníky 4-7. Jak se čísla losují a nevracejí, šance, že další volba pomůže vaší kartě, se pokaždé mění. Požádejte studenty, aby odhadli svou pravděpodobnost losování před a po losování 10 čísel. Cíl: zdůvodnit zmenšující se počet stejně pravděpodobných losování.
13. Kámen, nůžky, papír
Pojem: stejně pravděpodobné výsledky, nezávislé události. Ročníky 5-8. V náhodné hře má každý hod šanci jedna ku třem a kola jsou nezávislá: včerejší výhra neříká nic o dnešní. Je to také jemná brána do teorie her: existuje vítězná strategie proti skutečně náhodnému soupeři? Cíl: rozpoznat stejně pravděpodobné, nezávislé výsledky.
Spusťte je živě s AhaSlides
Dvě části těchto aktivit se dělají ručně složitě: generování spravedlivé náhodnosti a dostatečně rychlé shromažďování výsledků všech, aby se o nich dalo diskutovat. AhaSlides zvládá obojí z přední části místnosti.
- Kolovrat provádí náhodná losování, vybírá studenta, číslo nebo barvu, takže rotace je viditelná pro celou třídu a prokazatelně nezmanipulovaná.
- Živé hlasování shromažďujte experimentální data během několika sekund. Každý student odešle počet hlav nebo součet hodů kostkami, sloupcový graf se vytvoří v reálném čase a třída ihned porovná experimentální výsledek s teoretickou předpovědí.
- Snímky kvízu Proměňte koncepty v bodované kolo, například „Jaká je pravděpodobnost hodu 7?“, s žebříčkem, který udrží živou debatu o férovosti nebo očekávané hodnotě.
Protože se odpovědi zaznamenávají a zapisují automaticky, věnujete se lekci spíše uvažování než sčítání, a právě shromážděná data třídy jsou tím, co zákon velkých čísel uplatňuje.
Dát to dohromady
Pravděpodobnost se nejsnadněji učí, když ji studenti mohou sledovat. Vyberte si pro každou lekci dvě nebo tři z těchto her: jeden rozcvičovací experiment, jednu hádanku, která prolomí intuici, a jednu známou hru na opakované pročítání matematických výpočtů. Pokaždé pojmenujte daný koncept, sbírejte skutečná data a nechte mezeru mezi teorií a experimentem, aby se učila.
Reference
Freeman, S., Eddy, SL, McDonough, M., Smith, MK, Okoroafor, N., Jordt, H., & Wenderoth, MP (2014). Aktivní učení zvyšuje studijní výsledky studentů ve vědě, inženýrství a matematice. Proceedings of the National Academy of Sciences, 111(23), 8410-8415. https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1319030111
