Veereta täringut, keeruta münti, keeruta ratast ja midagi kasulikku juhtub: abstraktne idee nagu „üks kuuest” muutub millekski, mida õpilased saavad näha, mille üle vaielda ja mida mõõta. Seetõttu on tõenäosus matemaatika õppekava üks sõbralikumaid nurki praktilise õpetamise jaoks. Aktiivsete ülesannete ümber üles ehitatud tundides osalevad õpilased edestavad oma ainult loenguid läbivaid eakaaslasi ning üks 225 uuringu analüüs näitas, et traditsioonilistes loengutes osalevatel õpilastel oli 1.5 korda suurem tõenäosus läbi kukkuda kui aktiivõppe klassides osalevatel õpilastel (Freeman jt, 2014).
Allolevad mängud on klassiruumi jaoks ümber kirjutatud kasiinoõhtute nimekiri. Igas neist on ära toodud õpetatav tõenäosusmõiste, õpieesmärk, ligikaudne hindevahemik ja see, kuidas seda tunnis kasutada. Keegi ei panusta raha. Tasuline on mõistmine.
Tõenäosusmõisted, mida need mängud õpetavad
Enne mänge on siin kaart. Enamik teiseseid tõenäosusstandardeid taandub käputäiele suurtele ideedele:
- Proovipind: loetledes kõikvõimalikud tulemused.
- Teoreetiline vs eksperimentaalne tõenäosus: Mis peaks paberil juhtuma vs mis juhtub proovimisel.
- Sõltumatud vs sõltuvad sündmused: kas üks tulemus muudab järgmise tõenäosust.
- Oodatav väärtus: paljude katsete keskmine tulemus ja nutika otsuse alus.
- Õiglus, kombinatsioonid ja permutatsioonid: kas iga tulemus on võrdselt tõenäoline ja kuidas loendada sündmuse toimumise viise.
Iga mäng on märgistatud ideega, millele see keskendub, nii et saate selle õigesse õppetundi lisada.
Soojenduskatsed: teoreetiline vs eksperimentaalne tõenäosus
1. Mündiviske kuhjamine
Kontseptsioon: Teoreetiline vs eksperimentaalne tõenäosus, suurte arvude seadus. Klassid 5-8. Iga õpilane viskab münti 20 korda ja paneb kirja kulli viskamise tõenäosuse. Individuaalselt on tulemused segased: üks õpilane saab 13 kulli, teine 7. Seejärel liidetakse kogu klassi tulemused. Kui mündiviskete arv tõuseb sadadesse, stabiliseerub kulli viskamise osakaal ligikaudu 50%. Eesmärk: õpilased näevad, et väike valim võib tunduda ebaühtlane, samas kui pikaajaline määr vastab teoreetilisele tõenäosusele.
2. Kahe täringu summa näitamine
Kontseptsioon: valimiruum, tõenäosusjaotused. Klassid 6-9. Küsi, milline summa on kahe täringu veeretamisel kõige tõenäolisem: 2, 7 või 12. Enamik õpilasi arvab valesti. Lase neil veeretada kahte täringut 30 korda, summad kokku lugeda ja seejärel klassi tulpdiagramm koostada. Seitse võidab, sest 36 tulemuse hulgast on kuus võimalikku esinemisviisi (1+6, 2+5, 3+4 ja nende vastandid), samas kui 2 ja 12 puhul on ainult üks. Eesmärk: ühendada loetletud näidisruum reaalarvulise jaotusega.
3. Jaga punktid: roosa on kaks korda tõenäolisem
Kontseptsioon: murrud ja protsendid, terviku osad. Klassid 4-5. Selles vanuses õpilased alles hakkavad mõistma, et 100 tähistab täisarvu (100%), ja õpivad põhilisi murde, seega hoidke ülesanne lihtsa ja madala riskiga. Esitage lihtne reegel, näiteks: „Roosa peaks olema kaks korda tõenäolisem kui roheline ning oranžil ja mustal peaks olema võrdne võimalus” ja laske igal õpilasel jagada 100 punkti nelja värvi vahel nii, et nende jaotus seda rahuldaks. Punkte ei anta ja ühte õiget vastust pole, seega saavad õpilased vabalt katsetada, selle asemel et vale arvamise pärast tarduda. Eesmärk: muuta abstraktne suhe konkreetseks protsendiks tervikust ja kontrollida arutluskäiku, vaadates, kas iga õpilase jaotus annab tegelikult 100 ja vastab esitatud seosele.
AhaSlides'i slaid „Jaga punktid“ võimaldab õpetajal seadistada neli kategooriat ja 100-punktilise kogumi; iga õpilane esitab oma jaotuse ja tulemused kuvatakse reaalajas sektordiagrammina, nii et klass saab kohe jaotusi seatud reegliga võrrelda ja arutada, kes ja miks kõige lähemale jõudis.
4. Keera ratast: õiglane vs ebaõiglane
Kontseptsioon: õiglased vs ebaõiglased tulemused, murdosad ja suhtarvud. Klassid 4-7. Alusta rattaga, mis on jagatud võrdse värviga osadeks, seejärel vaheta sellise vastu, kus üks värv hõlmab poole. Õpilased ennustavad, keerutavad mitu korda ja võrdlevad. Eesmärk: väljendada tõenäosust terviku murdosana ning tunnetada erinevust võrdse tõenäosusega ja kaalutud keerutaja vahel.
Haara tasuta tõenäosuse vurriratta mall et korraldada täpselt seda mängu, õpetaja vs klass, kusjuures koefitsiendid on igasse vooru juba sisse arvestatud.
5. Kaarditõmbamised: asendamisega ja ilma asendamiseta
Kontseptsioon: Sõltumatud vs sõltuvad sündmused, tingimuslik tõenäosus. Klassid 8-10. Tõmba kaart, pane see kirja ja küsi järgmise tõmbe korral ässa võimalust. Tee seda kaks korda: üks kord pane kaart tagasi, teine kord jäta see eemale. Asendades on koefitsiendid iga kord 4/52 (sõltumatu). Ilma kaardita pakk kahaneb ja koefitsiendid muutuvad (sõltuv). Kiire Uno voor rõhutab sama mõtet: kui kaardid pakist lahkuvad, muutub ka see, mida alles jääb tõmmata. Eesmärk: eristada sõltumatuid sündmusi sõltuvatest.
Tõenäosusmõistatused, mis sütitavad arutelu
6. Monty Halli probleem
Kontseptsioon: tingimuslik tõenäosus. Klassid 9-12. Kolm ust, üks auhind. Õpilane valib ühe ukse, sina paljastad kahe teise ukse hulgast kaotava ukse ja pakud välja vahetuse. Kas nad peaksid selle vastu võtma? Ukse vahetamine võidab kahel korral kolmest, mida peaaegu keegi ei usu enne, kui klass seda 30 korda simuleerib ja see loeb. Eesmärk: näidata, et uus informatsioon muudab tõenäosust ja et intuitsioon võib eksitada.
7. Ahne siga
Kontseptsioon: oodatav väärtus, otsuste tegemine riski korral. Klassid 6-9. Terve klass tõuseb püsti. Sa veeretad ühte täringut ja kõik saavad punktid kokku, aga kui veeretad ühe, kaotavad kõik püstijäänud punktid selleks vooruks. Mängijad istuvad maha, kui nad tahavad oma punktid panka panna. Matemaatika: üks veeretus on seda väärt, kuni sinu panka panemata punktisumma langeb umbes 20-ni, kus eeldatav kasv muutub negatiivseks. Eesmärk: kasutada eeldatavat väärtust reaalse otsuse langetamise juhisena.
8. Kas see mäng on aus?
Kontseptsioon: õiglus, tõenäosuste võrdlemine. Klassid 7-10. Andke paaridele reegel, näiteks „Mängija A saab punkti, kui kahe täringu summa on paarisarvuline, mängija B, kui see on paaritu arv“ või „A võidab, kui korrutis on suurem kui 12“. Õpilased mängivad, kahtlustavad tasakaalustamatust ja tõestavad seda seejärel näidisruumiga. Eesmärk: hinnata õiglust tõendite, mitte kõhutunde põhjal, seejärel kujundada ebaõiglane reegel ümber, et seda tasakaalustada.
9. Sünnipäeva paradoks
Kontseptsioon: Komplementaarne tõenäosus, kombinatsioonid. Klassid 9-12. Küsi, mitu inimest on vaja, enne kui kahel on sama sünnipäev, on tõenäolisem kui mitte. Vastus, 23, jahmatab enamikku klasse. Seejärel kontrolli oma klassi: 30 õpilase puhul on tõenäosus umbes 70%. Nipp on lugeda, kuidas kõik sünnipäevad võivad erineda, ja lahutada see 1-st. Eesmärk: kasutada täiendavat loendamist, et jõuda üllatava tulemuseni.
Klassikalised mängud, loe uuesti läbi tõenäosusteooria õppetundidena
10. Yahtzee
Kontseptsioon: kombinatsioonid, konkreetsete tulemuste tõenäosus. Klassid 6-9. Lisaks lõbule on Yahtzee ka tõenäosusmootor. Milline on tõenäosus saada esimesel viskel kolmik? Kas mängija peaks hoidma kahte paari või püüdma rida? Eesmärk: hinnata sihttulemuste tõenäosusi ja kasutada neid valikute tegemiseks.
11. Monopol, tõenäosusversioon
Kontseptsioon: rakenduslikud jaotused. Klassid 7-10. Kuna liigute kahe täringu summa põhjal, maanduvad mõned ruudud palju sagedamini kui teised ja vanglast välja tulek suunab liiklust oranžide ja punaste ruutude poole. Laske õpilastel ennustada kuumad ruudud ja seejärel mängu jooksul maanduvad ruudud kokku lugeda. Eesmärk: rakendada kahe täringu jaotust tuttavale mängulauale.
12. bingo
Kontseptsioon: juhuslikud loosimised ilma asenduseta, suhtarvud. Klassid 4-7. Kuna numbreid loositakse ja neid ei tagastata, muutub iga kord tõenäosus, et järgmine loosimine aitab teie kaarti. Paluge õpilastel hinnata oma tõenäosust rea saamiseks enne ja pärast 10 numbri loosimist. Eesmärk: põhjendada võrdselt tõenäoliste loosimiste hulga vähenemist.
13. Kivi-paber-käärid
Kontseptsioon: võrdselt tõenäolised tulemused, sõltumatud sündmused. Klassid 5-8. Juhusliku mängu puhul on iga viske võiduvõimalus üks kolmest ja voorud on sõltumatud: eilne võit ei ütle tänase kohta midagi. See on ka õrn uks mänguteooriasse: kas tõeliselt juhusliku vastase vastu on olemas võidustrateegia? Eesmärk: tuvastada võrdselt tõenäolisi, kuid sõltumatuid tulemusi.
Käivita neid otseülekandeid AhaSlidesiga
Nende tegevuste kaks osa on käsitsi teostatavad: õiglase juhuslikkuse genereerimine ja kõigi tulemuste koondamine piisavalt kiiresti, et neid arutada. AhaSlides tegeleb mõlemaga ruumi eestpoolt.
- Ketrusratas teeb juhuslikke loosimisi, valides õpilase, numbri või värvi, nii et keerutus on kogu klassile nähtav ja tõestatavalt manipuleerimata.
- Otseküsitlused Koguge katseandmeid sekunditega. Iga õpilane esitab peade arvu või täringute summa, tulpdiagramm luuakse reaalajas ja klass võrdleb kohapeal katsetulemust teoreetilise ennustusega.
- Viktoriini slaidid Muutke kontseptsioonid punktivooruks, näiteks „Milline on 7 veeretamise tõenäosus?“, edetabeli abil, mis hoiab õigluse või oodatava väärtuse arutelu elavana.
Kuna vastused jäädvustatakse ja graafikule kantakse automaatselt, pühendad tunni arutluskäigule, mitte tulemuste kokkulugemisele, ning just koondatud klassiandmed panevadki suurte arvude seaduse kehtima.
Selle kokku viimine
Tõenäosust on kõige lihtsam õpetada siis, kui õpilased saavad seda pealt vaadata. Valige iga mooduli jaoks kaks või kolm sellist mängu: üks soojenduskatse, üks intuitsiooni purustav mõistatus ja üks tuttav mäng, kus matemaatikat uuesti läbi loetakse. Nimetage iga kord mõiste, koguge reaalseid andmeid ja laske teooria ja katse vahelisel lünga õpetamise eest hoolitseda.
Tehtud tööd
Freeman, S., Eddy, SL, McDonough, M., Smith, MK, Okoroafor, N., Jordt, H. ja Wenderoth, MP (2014). Aktiivõpe parandab õpilaste sooritust loodusteadustes, inseneriteadustes ja matemaatikas. Proceedings of the National Academy of Sciences, 111(23), 8410-8415. https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1319030111
