Dobj egy kockát, dobj fel egy érmét, pörgess meg egy kereket, és valami hasznos történik: egy absztrakt ötlet, mint például a „hatból egy”, valami olyasmivé válik, amit a diákok láthatnak, vitatkozhatnak róla és mérhetnek. Ezért a valószínűségszámítás a matematika tananyagának egyik legbarátságosabb szeglete a gyakorlati oktatás szempontjából. Az aktív feladatok köré épített órákon részt vevő diákok jobban teljesítenek, mint a csak előadáson részt vevő társaik, és egy 225 tanulmányt elemző elemzés szerint a hagyományos előadásokon részt vevő diákoknak 1.5-szer nagyobb valószínűséggel voltak bukásuk, mint az aktív tanulási módszerrel zajló tantermekben részt vevőknek (Freeman et al., 2014).
Az alábbi játékok a kaszinóestek osztálytermi használatra átírt listáját mutatják. Mindegyik megnevezi a tanított valószínűségszámítási fogalmat, a tanulási célt, a hozzávetőleges osztályzatot, és azt, hogyan kell lejátszani egy órán. Senki sem tesz pénzes fogadást. A jutalom a megértés.
A játékokban tanított valószínűségi fogalmak
A játékok előtt itt a térkép. A legtöbb másodlagos valószínűségi standard néhány nagy ötletre vezethető vissza:
- Mintaterület: felsorolva az összes lehetséges kimenetelt.
- Elméleti vs. kísérleti valószínűség: Minek kellene történnie papíron, illetve mi történik, ha kipróbálod.
- Független vs. függő események: hogy az egyik eredmény megváltoztatja-e a következő esélyeit.
- Várható érték: az átlagos eredmény számos próba után, és egy okos döntés alapja.
- Igazságosság, kombinációk és permutációk: hogy minden kimenetel egyformán valószínű-e, és hogyan számolhatjuk meg egy esemény bekövetkezésének módjait.
Minden játék fel van címkézve a célzott ötlettel, így a megfelelő leckébe illesztheted.
Bemelegítő kísérletek: elméleti vs. kísérleti valószínűség
1. Érmefeldobásos halom
Koncepció: elméleti vs. kísérleti valószínűség, a nagy számok törvénye. 5-8. évfolyam. Minden diák 20-szor feldob egy érmét, és feljegyzi a fejek számát. Az egyéni eredmények kuszaak: az egyik diák 13 fejet dob, a másik 7-et. Ezután összeadjuk az egész osztály eredményeit. Ahogy a feldobások száma eléri a több százat, a fejek összesített aránya 50% közelébe stabilizálódik. Cél: a diákok felismerik, hogy egy kis minta egyenetlennek tűnhet, míg a hosszú távú arány megegyezik az elméleti valószínűséggel.
2. Két kocka összegének leszámolása
Koncepció: mintavételi tér, valószínűségi eloszlások. 6-9. évfolyam. Kérdezd meg, hogy melyik összeg a legvalószínűbb két dobókockával: 2, 7 vagy 12. A legtöbb diák rosszul tippel. Dobjanak két kockával 30-szor, számolják össze az összegeket, majd készítsenek oszlopdiagramot az osztálynak. Hét győzelem, mert 36 kimenetelből hatféleképpen fordulhat elő (1+6, 2+5, 3+4 és ezek megfordítása), míg a 2-es és 12-es kimenetelnek csak egy-egy. Cél: egy felsorolt mintateret összekapcsolni egy valós eloszlással.
3. Ossza el a pontokat: a rózsaszín kétszer akkora valószínűséggel jelenik meg
Koncepció: törtek és százalékok, az egész részei. 4-5. évfolyam. Ebben a korban a diákok éppen csak kezdik felfogni, hogy a 100 egy egészet (100%) jelent, és az alapvető törteket tanulják, ezért a feladat legyen egyszerű és ne legyen túl tétes. Fogalmazzon meg egy közérthető szabályt, például: „A rózsaszínnek kétszer akkora esélye van a találatnak, mint a zöldnek, a narancssárgának és a feketének pedig egyenlő esélye van”, és kérje meg minden tanulót, hogy ossza el a 100 pontot a négy szín között úgy, hogy az általa elosztott szám kielégítse ezt a szabályt. Semmit sem pontoznak, és nincs egyetlen helyes válasz, így a tanulók szabadon kísérletezhetnek, ahelyett, hogy a rossz tippelésen rágódnának. Cél: egy absztrakt arányt egy egész konkrét százalékává alakítani, és ellenőrizni az érvelést azzal, hogy megnézzük, hogy minden tanuló által kapott arány valóban 100-at tesz-e ki, és megfelel-e a megadott összefüggésnek.
Az AhaSlides Pontok Felosztása diája lehetővé teszi a tanár számára, hogy beállítsa a négy kategóriát és egy 100 pontos alapot; minden diák beküldi a saját felosztását, és az eredmények élőben, kördiagramként épülnek fel, így az osztály azonnal összehasonlíthatja a felosztásokat a megadott szabállyal, és megbeszélheti, ki került a legközelebb és miért.
4. Pörgesd meg a kereket: igazságos vs. igazságtalan
Koncepció: igazságos vs. igazságtalan eredmények, törtek és arányok. 4-7. évfolyam. Kezdj egy egyenlő színű részekre osztott kerékkel, majd válts egy olyanra, amelynek a felét egyetlen szín teszi ki. A tanulók megjósolják, sokszor megpörgetik, és összehasonlítják. Cél: a valószínűség kifejezése az egész tört részeként, és a különbség megérzése az egyenlő esélyű és a súlyozott pörgettyű között.
Szerezd meg az ingyenes valószínűségi forgó kerék sablont hogy pontosan ezt a játékot, tanár vs. osztály, lefuttassuk, az egyes körökbe már beépített esélyekkel.
5. Kártyahúzások: visszatevéses és visszatevés nélküli
Koncepció: Független vs. függő események, feltételes valószínűség. 8-10. évfolyam. Húzz egy lapot, jegyezd meg, és kérdezd meg, hogy a következő húzáskor mennyi az esélye egy ásznak. Ezt kétszer csináld: egyszer visszateszed a lapot, egyszer pedig kihagyod. Visszatevés esetén az esélyek minden alkalommal 4/52 maradnak (független). Visszatevés nélkül a pakli összezsugorodik, és az esélyek eltolódnak (függő). Egy gyors Uno kör ugyanezt a lényeget hangsúlyozza: amint a lapok elhagyják a paklit, megváltozik, hogy mit lehet húzni. Cél: megkülönböztetni a független és a függő eseményeket.
Valószínűségi rejtvények, amelyek vitát indítanak el
6. A Monty Hall-probléma
Koncepció: feltételes valószínűség. 9-12. évfolyam. Három ajtó, egy nyeremény. Egy diák választ egy ajtót, te felfedsz egy vesztes ajtót a másik kettő közül, majd felajánlasz egy cserét. Vajon elfogadja? A csere háromból kétszer nyer, amit szinte senki sem hisz el, amíg az osztály 30-szor nem szimulálja, és az számít. Cél: Mutasd meg, hogy az új információ frissíti a valószínűséget, és hogy az intuíció félrevezethet.
7. Kapzsi disznó
Koncepció: várható érték, döntéshozatal kockázat alatt. 6-9. évfolyam. Az egész osztály feláll. Dobsz egy kockával, és mindenki összeadja az eredményt, de ha 1-est dobsz, mindenki elveszíti a pontjait a körre. A játékosok leülnek, amikor fel akarják használni a meglévő pontjaikat. A matek: még egy dobás megéri, amíg a fel nem használt pontszám el nem éri a 20-at, ahol a várható nyereség negatívba fordul. Cél: a várható érték használata a valódi döntéshozatal irányításához.
8. Tisztességes ez a játék?
Koncepció: igazságosság, valószínűségek összehasonlítása. 7-10. évfolyam. Adj pároknak egy szabályt, például: „Az A játékos akkor nyer, ha a két kocka összege páros, a B játékos, ha páratlan”, vagy „A nyer, ha a szorzat 12-nél nagyobb”. A tanulók játszanak, gyanítanak egy egyensúlytalanságot, majd bebizonyítják a minta segítségével. Cél: a tisztességességet bizonyítékok, ne pedig megérzések alapján ítéljék meg, majd alakítsanak át egy igazságtalan szabályt az egyensúly érdekében.
9. A születésnapi paradoxon
Koncepció: kiegészítő valószínűség, kombinációk. 9-12. évfolyam. Kérdezd meg, hány emberre van szükséged ahhoz, hogy két ember ossza meg a születésnapját, az valószínűbb, mint a valószínűség. A válasz, 23, a legtöbb órát megdöbbenti. Aztán nézd meg a saját termedet: 30 diákkal az esély körülbelül 70%. A trükk az, hogy megszámold, hogyan különbözhetnek az összes születésnap, és kivonj 1-ből. Cél: kiegészítő számlálást használva meglepő eredményre jutsz.
Klasszikus játékok, valószínűségszámítási leckékként újraolvasva
10. Yahtzee
Koncepció: kombinációk, specifikus kimenetelek valószínűsége. 6-9. évfolyam. A szórakozáson túl a Yahtzee egy valószínűségszámítási gép is. Mekkora az esélye annak, hogy az első dobásnál három egyforma lap lesz? Tartson meg a játékos két párt, vagy üldözzön egy sort? Cél: Becsülje meg a célzott kimenetelek esélyeit, és használja ezeket döntések meghozatalához.
11. Monopólium, a valószínűségi változat
Koncepció: alkalmazott eloszlások. 7-10. évfolyam. Mivel két kocka összegére kell lépni, egyes mezőkre sokkal többször esik a dobás, mint másokra, és a börtönből való kilépés a narancssárga és piros mezők felé tereli a forgalmat. Kérd meg a tanulókat, hogy jósolják meg a forró négyzeteket, majd számolják össze a földet érőket egy játék során. Cél: a két kocka eloszlásának alkalmazása egy ismerős táblára.
12. bingó
Koncepció: visszatevés nélküli véletlenszerű húzások, arányok. 4-7. évfolyam. Ahogy a számokat kihúzzák és nem adják vissza, annak az esélye, hogy a következő hívás a kártyádat segíti, minden alkalommal változik. Kérd meg a tanulókat, hogy becsüljék meg egy vonal esélyét 10 kihúzott szám előtt és után. Cél: indoklás az egyenlő valószínűségű húzások csökkenő köréről.
13. Kő-papír-olló
Koncepció: egyenlő valószínűségű kimenetelek, független események. 5-8. évfolyam. A véletlenszerű játéknál minden dobásnak egy a háromhoz az esélye, és a körök függetlenek: a tegnapi győzelem semmit sem mond a mairól. Ez egyben egy finom ajtó is a játékelméletbe: létezik-e nyerő stratégia egy valóban véletlenszerű ellenféllel szemben? Cél: azonos valószínűségű, független kimenetelek felismerése.
Futtassa ezeket élőben az AhaSlides segítségével
Ezen tevékenységek két részét nehézkes kézzel elvégezni: a tisztességes véletlenszerűség generálása, és mindenki eredményeinek elég gyors összegyűjtése ahhoz, hogy meg lehessen őket beszélni. Az AhaSlides mindkettőt a terem elejéről kezeli.
- Spinner kerék véletlenszerű sorsolásokat végez, kiválasztva egy diákot, egy számot vagy egy színt, így a pörgetés látható az egész osztály számára, és bizonyíthatóan nincs manipulálva.
- Élő közvélemény-kutatások Másodpercek alatt gyűjtsön kísérleti adatokat. Minden diák beküld egy fejszámolási vagy kockaösszeg-számítást, az oszlopdiagram élőben épül fel, és az osztály a helyszínen összehasonlítja a kísérleti eredményt az elméleti előrejelzéssel.
- Kvíz diák Alakítsd át a fogalmakat egy pontozó körré, például „Mi a valószínűsége annak, hogy 7-est dobunk?”, egy ranglistával, amely élénken tartja a vitát a méltányosságról vagy a várható értékről.
Mivel a válaszokat automatikusan rögzíti és táblázatba foglalja a rendszer, az órát az érveléssel, nem pedig a számlálással töltöd, és pontosan az összegyűjtött osztályadatok az, ami miatt érvényesül a nagy számok törvénye.
Összehozva
A valószínűségszámítást akkor a legkönnyebb tanítani, ha a diákok megfigyelhetik, ahogy az történik. Válassz ki két vagy három ilyen játékot egy leckéhez: egy bemelegítő kísérletet, egy intuíción alapuló rejtvényt és egy ismerős játékot, amelyben újraolvassuk a matematikát. Nevezd meg a fogalmat minden alkalommal, gyűjts valós adatokat, és hagyd, hogy az elmélet és a kísérlet közötti szakadék végezze a tanítást.
Referenciák
Freeman, S., Eddy, SL, McDonough, M., Smith, MK, Okoroafor, N., Jordt, H. és Wenderoth, MP (2014). Az aktív tanulás növeli a tanulók teljesítményét a természettudományokban, a mérnöki tudományokban és a matematikában. Proceedings of the National Academy of Sciences, 111(23), 8410-8415. https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1319030111
