Beispiele für Wahrscheinlichkeitsspiele: 13 Unterrichtsaktivitäten, um Schülern realitätsnahe Mathematik zu vermitteln

Würfeln, eine Münze werfen, ein Glücksrad drehen – und schon geschieht etwas Nützliches: Eine abstrakte Idee wie „eins zu sechs“ wird greifbar, sodass Schüler sie sehen, diskutieren und messen können. Deshalb eignet sich die Wahrscheinlichkeitsrechnung besonders gut für handlungsorientiertes Lernen im Mathematikunterricht. Schüler in Kursen mit aktiven Aufgaben erzielen bessere Ergebnisse als ihre Mitschüler in reinen Vorlesungen. Eine Analyse von 225 Studien ergab, dass Schüler in traditionellen Vorlesungen 1.5-mal häufiger durchfielen als Schüler in Kursen mit aktiven Lernmethoden (Freeman et al., 2014).

Die folgenden Spiele sind die für den Unterricht angepasste Liste des Casinoabends. Jedes Spiel benennt das vermittelte Wahrscheinlichkeitskonzept, ein Lernziel, eine ungefähre Notenskala und beschreibt die Durchführung im Unterricht. Es wird kein Geld eingesetzt. Der Gewinn besteht im Verständnis der Zusammenhänge.

Die Wahrscheinlichkeitskonzepte, die diese Spiele vermitteln

Vor den Spielen hier die Übersicht. Die meisten sekundären Wahrscheinlichkeitsstandards lassen sich auf einige wenige Grundprinzipien reduzieren:

• Probenraum: Auflistung aller möglichen Ergebnisse.
• Theoretische vs. experimentelle Wahrscheinlichkeit: Was auf dem Papier passieren sollte im Vergleich zu dem, was passiert, wenn man es ausprobiert.
• Unabhängige vs. abhängige Ereignisse: ob ein Ergebnis die Wahrscheinlichkeit des nächsten Ergebnisses verändert.
• Erwartungswert: Das durchschnittliche Ergebnis aus vielen Versuchen und die Grundlage für eine kluge Entscheidung.
• Fairness, Kombinationen und Permutationen: ob jedes Ergebnis gleich wahrscheinlich ist und wie man die verschiedenen Möglichkeiten zählt, wie ein Ereignis eintreten kann.

Jedes Spiel ist mit dem Thema versehen, das es vermittelt, sodass Sie es in die richtige Unterrichtsstunde einbinden können.

Aufwärmexperimente: theoretische vs. experimentelle Wahrscheinlichkeit

1. Münzwurf-Pile-up

Konzept: Theoretische vs. experimentelle Wahrscheinlichkeit, das Gesetz der großen Zahlen. Klassen 5-8. Jeder Schüler wirft 20 Mal eine Münze und notiert die Anzahl der Würfe mit Kopf. Die Ergebnisse sind individuell betrachtet uneinheitlich: Ein Schüler erhält 13 Mal Kopf, ein anderer 7 Mal. Anschließend werden alle Ergebnisse der Klasse zusammengezählt. Steigt die Anzahl der Würfe auf mehrere hundert, pendelt sich der Gesamtanteil an Kopf bei etwa 50 % ein. Ziel: Die Schüler erkennen, dass eine kleine Stichprobe einseitig erscheinen kann, während die langfristige Rate der theoretischen Wahrscheinlichkeit entspricht.

2. Zwei-Würfel-Summe-Showdown

Konzept: Stichprobenraum, Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Klassen 6-9. Fragen Sie, welche Augensumme beim Würfeln mit zwei Würfeln am wahrscheinlichsten ist: 2, 7 oder 12. Die meisten Schüler raten falsch. Lassen Sie sie 30 Mal mit zwei Würfeln würfeln, die Augensummen zusammenzählen und anschließend ein Balkendiagramm für die Klasse erstellen. Die 7 ist die wahrscheinlichste Augensumme, da sie sechs Möglichkeiten hat (1+6, 2+5, 3+4 und deren Umkehrungen) von insgesamt 36 möglichen Ergebnissen, während 2 und 12 jeweils nur eine Möglichkeit haben. Ziel: Eine Verbindung zwischen einem vorgegebenen Ergebnisraum und einer realen Verteilung herstellen.

3. Die Punkte aufteilen: Pink ist doppelt so wahrscheinlich

Konzept: Brüche und Prozentsätze, Teile eines Ganzen. Klassen 4-5. In diesem Alter beginnen die Schüler gerade erst zu verstehen, dass 100 ein Ganzes (100 %) darstellt und lernen die Grundlagen der Bruchrechnung. Daher sollte die Aufgabe kurz, einfach und ohne Druck gestaltet werden. Formulieren Sie eine leicht verständliche Regel, z. B. „Pink sollte doppelt so wahrscheinlich sein wie Grün, und Orange und Schwarz sollten gleich wahrscheinlich sein.“ Jeder Schüler teilt dann 100 Punkte auf die vier Farben auf, sodass seine Aufteilung der Regel entspricht. Es gibt keine Punkte und keine eindeutig richtige Antwort, sodass die Schüler frei experimentieren können, anstatt sich vor falschen Vermutungen zu fürchten. Ziel ist es, ein abstraktes Verhältnis in einen konkreten Prozentsatz eines Ganzen umzuwandeln und die Argumentation zu überprüfen, indem man sieht, ob die Aufteilung jedes Schülers tatsächlich 100 ergibt und dem vorgegebenen Verhältnis entspricht.

Mit der AhaSlides-Folie „Punkte aufteilen“ kann der Lehrer die vier Kategorien und einen Punktepool von 100 festlegen; jeder Schüler gibt seine eigene Aufteilung ab, und die Ergebnisse werden live als Tortendiagramm dargestellt, sodass die Klasse die Aufteilungen sofort mit der vorgegebenen Regel vergleichen und besprechen kann, wer am nächsten dran war und warum.

4. Das Glücksrad drehen: fair vs. unfair

Konzept: gerechte vs. ungerechte Ergebnisse, Brüche und Verhältnisse. Klassen 4-7. Beginnen Sie mit einem Glücksrad, das in gleich große farbige Abschnitte unterteilt ist, und wechseln Sie dann zu einem, bei dem eine Farbe die Hälfte der Abschnitte einnimmt. Die Schüler sagen die Wahrscheinlichkeit voraus, drehen das Rad mehrmals und vergleichen die Ergebnisse. Ziel: Wahrscheinlichkeit als Anteil des Ganzen ausdrücken und den Unterschied zwischen einem Glücksrad mit gleichen Gewinnchancen und einem Glücksrad mit Gewichtsverteilung spüren.

Hol dir die kostenlose Vorlage für das Wahrscheinlichkeitsrad. Um genau dieses Spiel, Lehrer gegen Klasse, durchzuführen, wobei die Gewinnchancen bereits in jede Runde eingerechnet sind.

5. Kartenziehen: mit und ohne Zurücklegen

Konzept: unabhängige vs. abhängige Ereignisse, bedingte Wahrscheinlichkeit. Klassen 8-10. Ziehe eine Karte, notiere sie und frage nach der Wahrscheinlichkeit, beim nächsten Zug ein Ass zu ziehen. Wiederhole dies zweimal: einmal mit zurückgelegter Karte und einmal ohne. Mit Zurücklegen bleibt die Wahrscheinlichkeit jedes Mal bei 4/52 (unabhängig). Ohne Zurücklegen verringert sich der Kartenstapel, und die Wahrscheinlichkeit ändert sich (abhängig). Eine kurze Runde Uno verdeutlicht dasselbe: Sobald Karten den Stapel verlassen, ändert sich, welche Karten noch gezogen werden können. Ziel: Unabhängige von abhängigen Ereignissen unterscheiden.

Wahrscheinlichkeitsrätsel, die zur Diskussion anregen

6. Das Monty-Hall-Problem

Konzept: bedingte Wahrscheinlichkeit. Klassen 9-12. Drei Türen, ein Preis. Ein Schüler wählt eine Tür, Sie zeigen eine der beiden anderen Türen, die zum Verlust führt, und bieten ihm einen Tausch an. Soll er ihn annehmen? Der Tausch führt in zwei von drei Fällen zum Sieg, was fast niemand glaubt, bis die Klasse es 30 Mal simuliert und die Ergebnisse zählt. Ziel: zeigen, dass neue Informationen die Wahrscheinlichkeit verändern und dass Intuition täuschen kann.

7. Das gierige Schwein

Konzept: Erwartungswert, Entscheidungsfindung unter Risiko. Klassen 6-9. Die ganze Klasse steht auf. Man würfelt einmal, und alle erhalten ihre Punkte. Würfelt man eine 1, verliert jeder, der noch steht, seine Punkte für diese Runde. Die Spieler setzen sich, wenn sie ihre Punkte sichern wollen. Die Rechnung: Ein weiterer Wurf lohnt sich, bis die nicht gesicherte Punktzahl etwa 20 übersteigt. Danach wird der erwartete Gewinn negativ. Ziel: Den Erwartungswert nutzen, um eine fundierte Entscheidung zu treffen.

8. Ist dieses Spiel fair?

Konzept: Fairness, Vergleich von Wahrscheinlichkeiten. Klassen 7-10. Man gibt den Paaren eine Regel vor, z. B. „Spieler A punktet, wenn die Augensumme beider Würfel gerade ist, Spieler B, wenn sie ungerade ist“ oder „A gewinnt bei einer Augensumme über 12“. Die Schüler spielen, vermuten ein Ungleichgewicht und beweisen es anschließend mithilfe der Ergebnismenge. Ziel: Fairness anhand von Beweisen und nicht anhand des Bauchgefühls beurteilen und eine unfaire Regel so überarbeiten, dass sie ausgeglichen wird.

9. Das Geburtstagsparadoxon

Konzept: Komplementäre Wahrscheinlichkeit, Kombinationen. Klassen 9-12. Fragt euch, wie viele Personen nötig sind, damit die Wahrscheinlichkeit, dass zwei am selben Tag Geburtstag haben, höher ist als unwahrscheinlich. Die Antwort, 23, verblüfft die meisten Klassen. Überprüft es dann in eurer eigenen Klasse: Mit 30 Schülern liegt die Wahrscheinlichkeit bei etwa 70 %. Der Trick besteht darin, die verschiedenen Möglichkeiten zu zählen, wie sich Geburtstage unterscheiden können, und diese Zahl von 1 abzuziehen. Ziel: Durch komplementäres Zählen ein überraschendes Ergebnis erzielen.

Klassische Spiele, neu interpretiert als Wahrscheinlichkeitslektionen

10. Yahtzee

Konzept: Kombinationen, Wahrscheinlichkeit bestimmter Ergebnisse. Klassen 6-9. Neben dem Spielspaß ist Yahtzee ein Rechenmodell für Wahrscheinlichkeitsrechnung. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Wurf einen Drilling zu würfeln? Sollte man zwei Paare behalten oder auf eine Straße setzen? Ziel: Die Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Ergebnisse einschätzen und diese nutzen, um Entscheidungen zu treffen.

11. Monopoly, die Wahrscheinlichkeitsversion

Konzept: angewandte Verteilungen. Klassen 7-10. Da man sich mit der Augensumme zweier Würfel bewegt, landen manche Felder deutlich häufiger als andere. Das Verlassen des Gefängnisses lenkt die Spieler in Richtung der orangefarbenen und roten Felder. Die Schüler sollen die am häufigsten besuchten Felder vorhersagen und anschließend die Landungen im Laufe eines Spiels zählen. Ziel: Die Verteilung der Würfel auf ein bekanntes Spielbrett anwenden.

12. Bingo

Konzept: Zufallsziehungen ohne Zurücklegen, Verhältnisse. Klassen 4-7. Da Zahlen gezogen, aber nicht zurückgegeben werden, ändert sich die Wahrscheinlichkeit, dass die nächste Ziehung Ihrer Karte hilft, jedes Mal. Bitten Sie die Schüler, ihre Chancen auf eine Gewinnlinie vor und nach dem Ziehen von 10 Zahlen einzuschätzen. Ziel: Verständnis für die schrumpfende Anzahl gleichwahrscheinlicher Ziehungen.

13. Schere, Stein, Papier

Konzept: Gleichwahrscheinliche Ergebnisse, unabhängige Ereignisse. Klassen 5-8. Beim Zufallsspiel hat jeder Wurf eine Chance von eins zu drei, und die Runden sind unabhängig: Der gestrige Sieg sagt nichts über den heutigen aus. Es ist auch ein sanfter Einstieg in die Spieltheorie: Gibt es eine Gewinnstrategie gegen einen völlig zufälligen Gegner? Ziel: Gleichwahrscheinliche, unabhängige Ergebnisse erkennen.

Führen Sie diese live mit AhaSlides durch.

Zwei Aspekte dieser Aktivitäten sind manuell recht aufwendig: die Erzeugung einer fairen Zufallsauswahl und das schnelle Zusammenführen der Ergebnisse aller Teilnehmenden, um sie anschließend besprechen zu können. AhaSlides übernimmt beides automatisch von vorne im Raum.

1. Glücksradfunktion führt die zufälligen Ziehungen durch, indem er einen Schüler, eine Zahl oder eine Farbe auswählt, sodass der Dreh für die gesamte Klasse sichtbar und nachweislich nicht manipuliert ist.
2. Live-Umfragen Experimentdaten werden in Sekundenschnelle erfasst. Jeder Schüler gibt die Anzahl der Kopfwürfe oder die Augensumme der Würfel an, das Balkendiagramm wird live erstellt, und die Klasse vergleicht das experimentelle Ergebnis direkt vor Ort mit der theoretischen Vorhersage.
3. Quizfolien Die Konzepte lassen sich in eine Punkterunde umwandeln, zum Beispiel „Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, eine 7 zu würfeln?“, wobei eine Rangliste die Diskussion über Fairness oder Erwartungswert lebendig hält.

Da die Antworten automatisch erfasst und grafisch dargestellt werden, können Sie sich in der Unterrichtsstunde auf die Argumentation konzentrieren, anstatt auf das Auszählen, und die zusammengefassten Klassendaten sind genau das, was das Gesetz der großen Zahlen zur Geltung bringt.

Bring es zusammen

Wahrscheinlichkeit lässt sich am besten vermitteln, wenn Schüler sie beobachten können. Wählen Sie für eine Unterrichtseinheit zwei oder drei dieser Spiele aus: ein Einstiegsexperiment, ein Rätsel, das die Intuition herausfordert, und ein bekanntes Spiel, bei dem die mathematischen Grundlagen wiederholt werden. Benennen Sie jedes Mal das jeweilige Konzept, sammeln Sie reale Daten und lassen Sie die Diskrepanz zwischen Theorie und Experiment den Lernprozess leiten.

Referenzen

Freeman, S., Eddy, S. L., McDonough, M., Smith, M. K., Okoroafor, N., Jordt, H. & Wenderoth, M. P. (2014). Aktives Lernen steigert die Studienleistungen in Naturwissenschaften, Ingenieurwesen und Mathematik. Proceedings of the National Academy of Sciences, 111(23), 8410–8415. https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1319030111