Tung xúc xắc, lật đồng xu, quay bánh xe, và điều gì đó hữu ích sẽ xảy ra: một ý tưởng trừu tượng như “một phần sáu” biến thành thứ mà học sinh có thể nhìn thấy, tranh luận và đo lường. Đó là lý do tại sao xác suất là một trong những phần thân thiện nhất của chương trình toán học đối với việc giảng dạy thực hành. Học sinh trong các lớp học được xây dựng dựa trên các nhiệm vụ tích cực đạt kết quả tốt hơn so với các bạn cùng lớp chỉ học theo phương pháp thuyết giảng, và một phân tích của 225 nghiên cứu cho thấy rằng sinh viên trong các bài giảng truyền thống có khả năng thất bại cao gấp 1.5 lần so với những sinh viên trong các lớp học tích cực (Freeman và cộng sự, 2014).
Các trò chơi dưới đây là danh sách các trò chơi trong đêm sòng bạc được viết lại cho lớp học. Mỗi trò chơi đều nêu rõ khái niệm về xác suất mà nó dạy, mục tiêu học tập, mức độ khó phù hợp và cách thực hiện trong một bài học. Không ai đặt cược tiền. Phần thưởng là sự hiểu biết.
Các khái niệm về xác suất mà những trò chơi này dạy
Trước khi các trò chơi bắt đầu, đây là bản đồ. Hầu hết các tiêu chuẩn xác suất thứ cấp đều xoay quanh một vài ý tưởng lớn:
- Không gian mẫu: Liệt kê mọi kết quả có thể xảy ra.
- Xác suất lý thuyết so với xác suất thực nghiệm: Điều đáng lẽ phải xảy ra trên lý thuyết khác xa so với thực tế khi áp dụng.
- Sự kiện độc lập so với sự kiện phụ thuộc: Liệu kết quả này có làm thay đổi xác suất của kết quả tiếp theo hay không.
- Giá trị kỳ vọng: Kết quả trung bình thu được từ nhiều lần thử nghiệm, và là cơ sở cho một quyết định thông minh.
- Sự công bằng, các tổ hợp và hoán vị: Liệu mọi kết quả đều có khả năng xảy ra như nhau hay không, và làm thế nào để đếm số cách một sự kiện có thể xảy ra.
Mỗi trò chơi đều được gắn thẻ với ý tưởng mà nó hướng đến, vì vậy bạn có thể tích hợp nó vào bài học phù hợp.
Các thí nghiệm khởi động: xác suất lý thuyết so với xác suất thực nghiệm
1. Tung đồng xu và xếp chồng lên nhau
Ý tưởng: Xác suất lý thuyết so với xác suất thực nghiệm, định luật số lớn. Lớp 5-8. Mỗi học sinh tung đồng xu 20 lần và ghi lại số lần xuất hiện mặt ngửa. Kết quả riêng lẻ khá lộn xộn: một học sinh được 13 lần mặt ngửa, một học sinh khác được 7 lần. Sau đó cộng tổng số lần tung của cả lớp lại. Khi số lần tung tăng lên đến hàng trăm, tỷ lệ mặt ngửa chung của cả lớp ổn định ở mức gần 50%. Mục tiêu: Học sinh thấy rằng một mẫu nhỏ có thể trông không cân đối trong khi tỷ lệ dài hạn phù hợp với xác suất lý thuyết.
2. Màn so tài tổng điểm hai con xúc xắc
Ý tưởng: Không gian mẫu, phân bố xác suất. Lớp 6-9. Hãy hỏi học sinh xem tổng nào có khả năng xuất hiện cao nhất khi tung hai con xúc xắc: 2, 7, hay 12. Hầu hết học sinh đoán sai. Hãy cho họ tung hai con xúc xắc 30 lần, ghi lại tổng, sau đó lập biểu đồ cột cho cả lớp. Tổng 7 thắng vì nó có sáu cách xuất hiện (1+6, 2+5, 3+4 và các kết quả ngược lại) trong số 36 kết quả, trong khi 2 và 12 chỉ có một cách xuất hiện duy nhất. Mục tiêu: Kết nối không gian mẫu được liệt kê với phân phối thực tế.
3. Chia điểm: màu hồng có khả năng gấp đôi.
Ý tưởng: Phân số và phần trăm, các phần của một tổng thể. Lớp 4-5. Ở độ tuổi này, học sinh mới bắt đầu hiểu rằng 100 đại diện cho một tổng thể (100%) và đang học các phân số cơ bản, vì vậy hãy giữ cho bài tập đơn giản và không quá áp lực. Đưa ra một quy tắc bằng ngôn ngữ dễ hiểu, chẳng hạn như "Màu hồng có khả năng xuất hiện gấp đôi màu xanh lá cây, và màu cam và màu đen có khả năng xuất hiện bằng nhau", và yêu cầu mỗi học sinh chia 100 điểm cho bốn màu sao cho tổng số điểm của họ thỏa mãn quy tắc đó. Không tính điểm và không có câu trả lời đúng duy nhất, vì vậy học sinh có thể tự do thử nghiệm thay vì lo lắng về việc đoán sai. Mục tiêu: chuyển một tỷ lệ trừu tượng thành một tỷ lệ phần trăm cụ thể của một tổng thể, và kiểm tra lập luận bằng cách xem liệu tổng số điểm của mỗi học sinh có thực sự bằng 100 và phù hợp với mối quan hệ đã nêu hay không.
Slide "Chia điểm" của AhaSlides cho phép giáo viên thiết lập bốn hạng mục và tổng điểm 100; mỗi học sinh nộp bài chia điểm của mình, và kết quả được hiển thị trực tiếp dưới dạng biểu đồ hình tròn, để cả lớp có thể ngay lập tức so sánh kết quả với quy tắc đã nêu và thảo luận xem ai đạt điểm gần đúng nhất và tại sao.
4. Quay bánh xe: công bằng vs không công bằng
Ý tưởng: Kết quả công bằng so với kết quả không công bằng, phân số và tỉ lệ. Lớp 4-7. Bắt đầu với một bánh xe được chia thành các phần màu bằng nhau, sau đó chuyển sang một bánh xe mà một màu chiếm một nửa. Học sinh dự đoán, quay nhiều lần và so sánh. Mục tiêu: thể hiện xác suất dưới dạng phân số của toàn bộ và cảm nhận sự khác biệt giữa bánh xe có xác suất bằng nhau và bánh xe có trọng số.
Tải xuống mẫu xác suất miễn phí Quay Mayn Để tổ chức chính xác trò chơi này, giáo viên đấu với học sinh, với tỷ lệ thắng thua đã được tính toán sẵn trong mỗi vòng.
5. Rút bài: có và không có thay thế
Ý tưởng: Sự kiện độc lập so với sự kiện phụ thuộc, xác suất có điều kiện. Lớp 8-10. Rút một lá bài, ghi nhớ nó, và hỏi về khả năng có được quân Át trong lần rút bài tiếp theo. Thực hiện hai lần: một lần thay thế lá bài, một lần không thay thế. Nếu thay thế lá bài, tỷ lệ vẫn là 4/52 mỗi lần (độc lập). Nếu không thay thế, bộ bài sẽ giảm đi và tỷ lệ thay đổi (phụ thuộc). Một ván Uno nhanh cũng cho thấy điều tương tự: một khi các lá bài đã được loại bỏ khỏi chồng bài, những lá bài còn lại để rút sẽ thay đổi. Mục tiêu: phân biệt các sự kiện độc lập và phụ thuộc.
Những câu đố về xác suất khơi gợi thảo luận
6. Vấn đề Monty Hall
Ý tưởng: xác suất có điều kiện. Lớp 9-12. Ba cánh cửa, một giải thưởng. Một học sinh chọn một cánh cửa, bạn tiết lộ một cánh cửa thua cuộc trong hai cánh cửa còn lại, sau đó đề nghị đổi cửa. Họ có nên đổi cửa không? Đổi cửa thắng hai lần trong ba lần, điều mà hầu như không ai tin cho đến khi cả lớp mô phỏng 30 lần và đếm. Mục tiêu: cho thấy thông tin mới cập nhật xác suất, và trực giác có thể dẫn đến sai lầm.
7. Con lợn tham lam
Ý tưởng: Giá trị kỳ vọng, ra quyết định trong điều kiện rủi ro. Lớp 6-9. Cả lớp đứng lên. Mỗi người tung một con xúc xắc và cộng điểm lại, nhưng nếu tung được số 1 thì bất cứ ai còn đứng sẽ mất điểm trong vòng đó. Người chơi ngồi xuống khi muốn gửi điểm vào ngân hàng. Công thức tính toán: thêm một lần tung xúc xắc nữa sẽ có lợi cho đến khi điểm số chưa gửi vào ngân hàng vượt quá khoảng 20, lúc đó lợi ích kỳ vọng sẽ chuyển sang âm. Mục tiêu: sử dụng giá trị kỳ vọng để đưa ra quyết định thực tế.
8. Trò chơi này có công bằng không?
Ý tưởng: sự công bằng, so sánh xác suất. Lớp 7-10. Đưa ra cho từng cặp chơi một luật như “Người chơi A ghi điểm nếu tổng hai con xúc xắc là số chẵn, người chơi B ghi điểm nếu tổng là số lẻ,” hoặc “A thắng nếu tích của hai con xúc xắc lớn hơn 12.” Học sinh chơi, nghi ngờ có sự mất cân bằng, sau đó chứng minh điều đó bằng không gian mẫu. Mục tiêu: đánh giá tính công bằng bằng chứng, không phải cảm tính, sau đó thiết kế lại một luật chơi không công bằng để cân bằng lại.
9. Nghịch lý ngày sinh nhật
Ý tưởng: Xác suất bổ sung, tổ hợp. Lớp 9-12. Hãy hỏi cần bao nhiêu người thì khả năng có hai người cùng ngày sinh nhật cao hơn. Câu trả lời, 23, khiến hầu hết các lớp học ngạc nhiên. Sau đó, hãy kiểm tra lớp học của bạn: với 30 học sinh, khả năng này khoảng 70%. Mấu chốt là đếm số cách mà ngày sinh nhật của tất cả học sinh có thể khác nhau và trừ đi 1. Mục tiêu: sử dụng phương pháp đếm bổ sung để đạt được kết quả bất ngờ.
Các trò chơi kinh điển, được đọc lại như những bài học về xác suất.
10. Yahtzee
Ý tưởng: Các tổ hợp, xác suất của các kết quả cụ thể. Lớp 6-9. Ngoài yếu tố giải trí, Yahtzee còn là một trò chơi rèn luyện xác suất. Xác suất tung được ba quân giống nhau trong lần tung đầu tiên là bao nhiêu? Người chơi nên giữ hai cặp hay theo đuổi một dãy số thẳng? Mục tiêu: ước tính xác suất của các kết quả mục tiêu và sử dụng chúng để đưa ra lựa chọn.
11. Độc quyền, phiên bản xác suất
Ý tưởng: phân phối ứng dụng. Lớp 7-10. Vì mỗi lượt di chuyển dựa trên tổng của hai con xúc xắc, nên một số ô sẽ được đặt chân đến nhiều hơn những ô khác, và việc thoát khỏi nhà tù sẽ thu hút người chơi đến các ô màu cam và đỏ. Hãy để học sinh dự đoán các ô "nóng", sau đó thống kê số lần đặt chân đến các ô đó trong suốt một ván chơi. Mục tiêu: Áp dụng quy tắc phân phối hai con xúc xắc vào một bàn cờ quen thuộc.
12. chơi lô tô
Ý tưởng: Rút thăm ngẫu nhiên không hoàn lại, theo tỷ lệ. Lớp 4-7. Khi các số được rút ra và không được trả lại, xác suất để lần gọi tiếp theo giúp ích cho lá bài của bạn sẽ thay đổi mỗi lần. Yêu cầu học sinh ước tính xác suất có một hàng trước và sau khi 10 số được rút ra. Mục tiêu: suy luận về một nhóm các lần rút có xác suất như nhau đang giảm dần.
13. Oẳn tù tì
Ý tưởng: Các kết quả có khả năng xảy ra như nhau, các sự kiện độc lập. Lớp 5-8. Với lối chơi ngẫu nhiên, mỗi lần tung xúc xắc có xác suất một phần ba, và các vòng chơi độc lập: chiến thắng ngày hôm qua không nói lên điều gì về chiến thắng ngày hôm nay. Đây cũng là một cách nhẹ nhàng để tiếp cận lý thuyết trò chơi: liệu có chiến lược chiến thắng nào khi đối đầu với một đối thủ hoàn toàn ngẫu nhiên? Mục tiêu: nhận biết các kết quả độc lập, có xác suất ngang nhau.
Trình chiếu trực tiếp các bài thuyết trình này với AhaSlides.
Hai phần của các hoạt động này rất khó thực hiện bằng tay: tạo ra sự ngẫu nhiên công bằng và tổng hợp kết quả của mọi người đủ nhanh để thảo luận. AhaSlides xử lý cả hai việc này ngay tại chỗ.
- Vòng quay may mắn Việc rút thăm ngẫu nhiên được thực hiện bằng cách chọn một học sinh, một con số hoặc một màu sắc, sao cho kết quả quay số được cả lớp công khai và chứng minh là không gian lận.
- Thăm dò trực tiếp Thu thập dữ liệu thí nghiệm chỉ trong vài giây. Mỗi học sinh nộp kết quả đếm số người hoặc tổng số xúc xắc, biểu đồ cột được xây dựng trực tiếp và cả lớp so sánh kết quả thí nghiệm với dự đoán lý thuyết ngay tại chỗ.
- Các slide bài kiểm tra Biến các khái niệm thành một vòng chơi có tính điểm, chẳng hạn như "Xác suất tung xúc xắc được số 7 là bao nhiêu?", với bảng xếp hạng giúp duy trì sự sôi nổi của cuộc tranh luận về tính công bằng hoặc giá trị kỳ vọng.
Vì các câu trả lời được ghi lại và lập biểu đồ tự động, bạn dành thời gian của bài học để tập trung vào lý luận thay vì thống kê, và dữ liệu tổng hợp của cả lớp chính là điều giúp chứng minh định luật số lớn.
Mang nó lại với nhau
Việc dạy xác suất dễ dàng nhất khi học sinh được quan sát trực tiếp quá trình diễn ra. Hãy chọn hai hoặc ba trò chơi sau cho mỗi bài học: một thí nghiệm khởi động, một trò chơi giải đố phá vỡ trực giác, và một trò chơi quen thuộc được giải thích lại bằng toán học. Luôn luôn nêu rõ khái niệm, thu thập dữ liệu thực tế, và để khoảng cách giữa lý thuyết và thực nghiệm tự nói lên quá trình giảng dạy.
dự án
Freeman, S., Eddy, SL, McDonough, M., Smith, MK, Okoroafor, N., Jordt, H., & Wenderoth, MP (2014). Học tập tích cực làm tăng hiệu suất học tập của sinh viên trong khoa học, kỹ thuật và toán học. Kỷ yếu của Viện Hàn lâm Khoa học Quốc gia, 111(23), 8410-8415. https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1319030111
