דוגמאות למשחקי הסתברות: 13 פעילויות בכיתה ללימוד מתמטיקה אמיתית של תלמידים

גלגלו קובייה, הטילו מטבע, סובבו גלגל, ומשהו מועיל קורה: רעיון מופשט כמו "אחד משש" הופך למשהו שתלמידים יכולים לראות, להתווכח עליו ולמדוד. זו הסיבה שההסתברות היא אחת הפינות הידידותיות ביותר בתוכנית הלימודים במתמטיקה להוראה מעשית. תלמידים בשיעורים הבנויים סביב משימות אקטיביות מצליחים יותר מחבריהם, וניתוח אחד של 225 מחקרים מצא כי תלמידים בהרצאות מסורתיות היו בעלי סיכוי גבוה פי 1.5 להיכשל מאשר אלו בכיתות למידה אקטיביות (פרימן ואחרים, 2014).

המשחקים שלהלן הם רשימת לילות קזינו שנכתבה מחדש עבור הכיתה. כל אחד מהם מציין את מושג ההסתברות שהוא מלמד, מטרת למידה, טווח ציונים גס, וכיצד להריץ אותו בשיעור. אף אחד לא מהמר בכסף. התמורה היא הבנה.

מושגי ההסתברות שהמשחקים האלה מלמדים

לפני המשחקים, הנה המפה. רוב סטנדרטי ההסתברות המשנית מסתכמים בקומץ רעיונות גדולים:

• מרחב דגימה: מפרט כל תוצאה אפשרית.
• הסתברות תיאורטית לעומת הסתברות ניסיונית: מה אמור לקרות על הנייר לעומת מה שקורה כשמנסים את זה.
• אירועים בלתי תלויים לעומת אירועים תלויים: האם תוצאה אחת משנה את הסיכויים לתוצאה הבאה.
• ערך צפוי: התוצאה הממוצעת על פני ניסויים רבים, והבסיס להחלטה חכמה.
• הוגנות, שילובים ותמורות: האם כל תוצאה סבירה באותה מידה, וכיצד לספור את הדרכים שבהן אירוע יכול להתרחש.

כל משחק מתויג ברעיון שהוא מכוון אליו, כך שתוכלו לשלב אותו בשיעור הנכון.

ניסויי חימום: הסתברות תיאורטית לעומת הסתברות ניסיונית

1. ערימת מטבעות

קונספט: הסתברות תיאורטית לעומת הסתברות ניסיונית, חוק המספרים הגדולים. כיתות א'-ח'. כל תלמיד מטיל מטבע 20 פעמים ורושם את מספר ההטלות "ראש". באופן אישי התוצאות מבולגנות: תלמיד אחד מקבל 13 "ראש", אחר מקבל 7. לאחר מכן, הם מרכיבים את סך כל הכיתה. ככל שמספר ההטלות עולה למאות, שיעור ההטלות הכולל של "ראש" מתקרב ל-50%. מטרה: התלמידים רואים שמדגם קטן יכול להיראות עקום בעוד שהשיעור בטווח הארוך תואם את ההסתברות התאורטית.

2. עימות סכום של שתי קוביות

קונספט: מרחב דגימה, התפלגויות הסתברות. כיתות א'-ח'. שאלו איזה סכום הוא הסביר ביותר כאשר מגלגלים שתי קוביות: 2, 7 או 12. רוב התלמידים מנחשים לא נכון. בקשו מהם לגלגל שתי קוביות 30 פעמים, לספור את הסכומים, ואז לבנות תרשים עמודות כיתתי. שבעה ניצחונות מכיוון שיש לו שש דרכים להתרחש (1+6, 2+5, 3+4 וההיפוכים שלהן) מתוך 36 תוצאות, בעוד של-2 ו-12 יש רק אחת לכל אחת. מטרה: לחבר מרחב מדגם רשום להתפלגות ממשית.

3. חלקו את הנקודות: ורוד הוא בעל סבירות כפולה

קונספט: שברים ואחוזים, חלקי שלם. כיתות א'-ח'. בגיל זה, תלמידים רק מתחילים להבין ש-100 מייצג שלם (100%) ולומדים שברים בסיסיים, לכן שמרו על תקציר פשוט ובעל סיכון נמוך. הציבו כלל פשוט, כגון "ורוד צריך להיות בעל סבירות כפולה מירוק, וכתום ושחור צריכים להיות בעלי סיכוי שווה", ותנו לכל תלמיד לחלק 100 נקודות בין ארבעת הצבעים כך שהחלוקה שלו תעמוד בה. שום דבר לא מקבל ניקוד ואין תשובה נכונה אחת, כך שהתלמידים יכולים להתנסות בחופשיות במקום לקפוא על ניחוש שגוי. מטרה: להפוך יחס מופשט לאחוז קונקרטי מהשלם, ולבדוק את ההיגיון על ידי בדיקה האם החלוקה של כל תלמיד אכן מסתכמת ב-100 ותואמת את הקשר המוצהר.

שקופית חלוקת הנקודות של AhaSlides מאפשרת למורה להגדיר את ארבע הקטגוריות ומאגר של 100 נקודות; כל תלמיד מגיש את החלוקה שלו, והתוצאות נבנות בזמן אמת כתרשים עוגה, כך שהכיתה יכולה להשוות מיד את החלוקות מול הכלל המוצהר ולדון במי הכי קרוב ומדוע.

4. סובבו את הגלגל: הוגן לעומת לא הוגן

קונספט: תוצאות הוגנות לעומת תוצאות לא הוגנות, שברים ויחסים. כיתות א'-ח'. התחילו עם גלגל המחולק לחלקים בצבעים שווים, לאחר מכן עברו לגלגל שבו צבע יחיד תופס מחצית. התלמידים חוזים, מסובבים פעמים רבות ומשווים. מטרה: לבטא הסתברות כשבר מהשלם ולהרגיש את ההבדל בין סבב בעל סיכוי שווה לסבב משוקלל.

קבלו את התבנית החינמית של גלגל טווה ההסתברות כדי להריץ את המשחק הזה בדיוק, מורה נגד כיתה, כאשר הסיכויים כבר מובנים בכל סיבוב.

5. שליפות קלפים: עם ובלי החזרה

קונספט: אירועים בלתי תלויים לעומת אירועים תלויים, הסתברות מותנית. כיתות א'-ח'. שלפו קלף, רשמו אותו ובקשו את הסיכוי לאס במשיכה הבאה. בצעו זאת פעמיים: פעם אחת מחזירים את הקלף, פעם אחת משאירים אותו בחוץ. עם החזרה, הסיכויים נשארים 4/52 בכל פעם (בלתי תלוי). בלי, החפיסה מתכווצת והסיכויים משתנים (תלוי). סיבוב מהיר של אונו מדגיש את אותה נקודה: ברגע שהקלפים יוצאים מהערימה, מה שנותר למשיכה משתנה. מטרה: להבחין בין אירועים בלתי תלויים לתלויים.

חידות הסתברות שמעוררות דיון

6. בעיית מונטי הול

קונספט: הסתברות מותנית. כיתות א'-ח'. שלוש דלתות, פרס אחד. תלמיד בוחר דלת, אתה חושף דלת מפסידה מבין השתיים האחרות, ואז מציע החלפה. האם עליו לקחת אותה? החלפה מנצחת פעמיים מתוך שלוש, דבר שכמעט אף אחד לא מאמין לו עד שהכיתה מדמה זאת 30 פעמים וסופרת. מטרה: להראות שמידע חדש מעדכן הסתברות, ושאינטואיציה יכולה להטעות.

7. חזיר חמדן

קונספט: ערך צפוי, קבלת החלטות תחת סיכון. כיתות א'-ח'. כל הכיתה עומדת. אתם מגלגלים קובייה אחת וכל אחד צובר את הניקוד, אבל מגלגלים קובייה אחת וכל מי שעדיין עומד מאבד את הנקודות שלו לסיבוב. השחקנים מתיישבים כשהם רוצים לאסוף את מה שיש להם. החישוב: עוד גלגול אחד שווה את זה עד שהניקוד שלא נשמר עובר את רף 20, ואז הרווח הצפוי הופך לשלילי. מטרה: להשתמש בערך הצפוי כדי להנחות החלטה אמיתית.

8. האם המשחק הזה הוגן?

קונספט: הוגנות, השוואת הסתברויות. כיתות א'-ח'. תנו לזוגות כלל כגון "שחקן א' מקבל ניקוד אם סכום שתי הקוביות זוגי, שחקן ב' אם הוא אי-זוגי", או "א' מנצח על מכפלה גדולה מ-12". התלמידים משחקים, חושדים בחוסר איזון, ואז מוכיחים אותו באמצעות מרחב המדגם. מטרה: לשפוט הוגנות באמצעות ראיות, לא תחושת בטן, ואז לעצב מחדש כלל לא הוגן כדי לאזן אותו.

9. פרדוקס יום ההולדת

קונספט: הסתברות משלימה, צירופים. כיתות א'-ח'. שאלו כמה אנשים אתם צריכים לפני שסביר יותר ששניים חולקים יום הולדת. התשובה, 23, מדהימה את רוב הכיתות. לאחר מכן בדקו את הכיתה שלכם: עם 30 תלמידים הסיכוי הוא כ-70%. הטריק הוא לספור את הדרכים בהן ימי ההולדת יכולים להיות שונים ולהחסיר מ-1. מטרה: להשתמש בספירה משלימה כדי להגיע לתוצאה מפתיעה.

משחקים קלאסיים, קריאה חוזרת כשיעורי הסתברות

10. יאכטזי

קונספט: צירופים, הסתברות לתוצאות ספציפיות. כיתות א'-ח'. מעבר לכיף, יאכטזי הוא מנוע הסתברות. מה הסיכוי לגלגל שלושה מאותו סוג בזריקה הראשונה? האם שחקן צריך לשמור על שני זוגות או לרדוף אחרי ישר? המטרה: להעריך את הסיכויים לתוצאות היעד ולהשתמש בהם כדי לקבל החלטות.

11. מונופול, גרסת ההסתברות

קונספט: התפלגויות יישומיות. כיתות א'-ח'. מכיוון שאתם מזיזים על סכום של שתי קוביות, חלק מהמשבצות נופלות עליהן הרבה יותר מאחרות, והיציאה מהכלא מושכת את התנועה לכיוון הכתומים והאדומים. בקשו מהתלמידים לחזות את המשבצות החמות, ואז לספור את הנחיתה לאורך המשחק. מטרה: ליישם את התפלגות שתי הקוביות על לוח מוכר.

12. בינגו

קונספט: הגרלות אקראיות ללא החלפה, יחסים. כיתות א'-ח'. כאשר מספרים נבחרים ולא מוחזרים, הסיכוי שהקריאה הבאה תעזור לקלף שלך משתנה בכל פעם. בקשו מהתלמידים להעריך את הסיכויים שלהם לקו לפני ואחרי ש-10 מספרים יוצאים. מטרה: להסיק מסקנות לגבי מאגר הולך ופוחת של מספרים בעלי סבירות שווה.

13. אבן נייר ומספריים

קונספט: תוצאות בעלות סבירות שווה, אירועים בלתי תלויים. כיתות א'-ח'. במשחק אקראי, לכל זריקה יש סיכוי של אחד לשלושה, והסיבובים אינם תלויים זה בזה: הניצחון של אתמול לא אומר דבר על הניצחון של היום. זוהי גם דלת עדינה לתורת המשחקים: האם יש אסטרטגיית ניצחון נגד יריב אקראי באמת? מטרה: לזהות תוצאות בלתי תלויות, בעלות סבירות שווה.

הפעילו את אלה בשידור חי עם AhaSlides

שני חלקים של פעילויות אלו מורכבים באופן ידני: יצירת אקראיות הוגנת, ואיסוף התוצאות של כולם מספיק מהר כדי לדון בהן. AhaSlides מטפל בשניהם מלפנים בחדר.

1. גלגל ספינר עושה את ההגרלות האקראיות, בוחר תלמיד, מספר או צבע, כך שסיבוב גלוי לכל הכיתה וניתן להוכיח שהוא לא מבוים.
2. סקרים חיים אסוף נתוני ניסוי תוך שניות. כל תלמיד מגיש ספירת ראשים או סכום קוביות, תרשים העמודות נבנה בזמן אמת, והכיתה משווה את תוצאת הניסוי מול התחזית התיאורטית במקום.
3. שקופיות חידון הפכו את המושגים לסיבוב עם ניקוד, כמו "מהי ההסתברות לגלגל 7?", עם טבלת הישגים ששומרת על דיון ערני על הוגנות או ערך צפוי.

מכיוון שהתשובות נלכדות ומוצגות במפות באופן אוטומטי, אתם מקדישים את השיעור לחשיבה ולא לספירה, ונתוני הכיתה המאוגדים הם בדיוק מה שגורם לחוק המספרים הגדולים לנחות.

מפגיש את זה

הסתברות היא הקלה ביותר ללמד כאשר תלמידים יכולים לצפות בה קורה. בחרו שניים או שלושה מהמשחקים הבאים ליחידה: ניסוי חימום אחד, חידה אחת ששוברת אינטואיציה, ומשחק מוכר אחד - קריאה חוזרת של המתמטיקה. ציינו את המושג בכל פעם, אספו נתונים אמיתיים, ותנו לפער בין התיאוריה לניסוי ללמד.

הפניות

פרימן, ס., אדי, ס.ל., מקדונו, מ., סמית', מ.ק., אוקורופור, נ., ג'ורדט, ה., וונדרות', מ.פ. (2014). למידה אקטיבית מגבירה את ביצועי התלמידים במדע, הנדסה ומתמטיקה. כתבי האקדמיה הלאומית למדעים, 111(23), 8410-8415. https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1319030111