掷骰子、抛硬币、转动轮盘，就能产生一些有用的结果：像“六分之一”这样的抽象概念变成了学生可以观察、讨论和测量的事物。正因如此，概率论是数学课程中最适合实践教学的领域之一。围绕实践任务设计的课堂上的学生表现优于只听讲授的学生。一项对225项研究的分析发现，传统讲授式课堂的学生不及格的可能性是实践学习课堂学生的1.5倍（Freeman et al., 2014）。
以下游戏列表改编自赌场之夜游戏，专为课堂教学而设计。每个游戏都包含所教授的概率概念、学习目标、大致的评分范围以及如何在课堂上进行教学。游戏中不涉及真钱投注，玩家的收获是理解。
这些游戏所教授的概率概念
游戏开始前，先来看看这张地图。大多数中学概率论标准都可以归结为几个核心概念：
- 样本空间： 列出所有可能的结果。
- 理论概率与实验概率： 纸面上应该发生的情况与实际操作中发生的情况之间的差异。
- 独立事件与相关事件： 一个结果是否会影响下一个结果的概率。
- 预期值： 多次试验的平均结果，也是做出明智决策的基础。
- 公平性、组合和排列： 每种结果发生的可能性是否相等，以及如何计算事件发生的方式。
每个游戏都标有它所针对的概念，因此您可以将其放入正确的课程中。
热身实验：理论概率与实验概率
1. 抛硬币堆叠
概念： 理论概率与实验概率，大数定律。 5-8 年级。 每个学生抛掷硬币 20 次，并记录正面朝上的次数。单独来看，结果并不均匀：一个学生抛出了 13 次正面，另一个学生抛出了 7 次。然后将全班的总次数汇总起来。随着抛掷次数增加到数百次，正面朝上的比例逐渐稳定在 50% 左右。目标：让学生明白，小样本的结果可能看起来不平衡，但长期来看，正面朝上的比例与理论概率相符。
2. 双骰子点数总和摊牌
概念： 样本空间，概率分布。 6-9 年级。 询问学生掷两颗骰子后，哪颗骰子点数之和最有可能出现：2、7 还是 12。大多数学生猜错了。让他们掷两颗骰子 30 次，统计点数之和，然后制作一个全班柱状图。结果显示，点数之和为 7 的概率最高，因为在 36 种可能的结果中，有 6 种可能出现（1+6、2+5、3+4 及其反转），而点数之和为 2 和 12 各只有一种可能出现。目标：将列出的样本空间与实际分布联系起来。
3. 平分分数：粉色出现的可能性是白色出现的两倍
概念： 分数和百分比，整体的一部分。 4-5 年级。 在这个年龄段，学生刚刚开始理解100代表一个整体（100%），并且正在学习基本的分数概念，所以要保持活动简短易懂，并且降低风险。提出一个通俗易懂的规则，例如“粉色出现的概率应该是绿色的两倍，橙色和黑色出现的概率应该相等”，然后让每个学生将100分分配到四种颜色上，直到他们的分配符合这个规则。活动不计分，也没有唯一的正确答案，所以学生可以自由尝试，而不会因为猜错而感到沮丧。活动目标：将抽象的比例转化为整体的具体百分比，并通过检查每个学生的分配是否真的等于100以及是否符合既定的关系来检验他们的推理能力。
AhaSlides 的“分配分数”幻灯片允许教师设置四个类别和一个 100 分的奖池；每个学生提交自己的分数分配，结果会实时以饼图的形式显示，这样全班同学就可以立即将分数分配与规定的规则进行比较，并讨论谁最接近以及原因。
4. 转动轮盘：公平 vs 不公平
概念： 公平与不公平的结果、分数和比率。 4-7 年级。 首先使用一个被等分成不同颜色区域的转盘，然后换成一个每种颜色占据一半区域的转盘。学生们进行预测，多次转动转盘，然后进行比较。目标：将概率表示为整体的分数，并感受等概率转盘和加权转盘之间的区别。
获取免费的概率转盘模板 要进行这场教师对学生的比赛，每轮比赛的胜负都已预先设定好。
5. 抽牌：有放回和无放回。
概念： 独立事件与相关事件，条件概率。 8-10 年级。 抽一张牌，记下牌面，然后询问下次抽牌抽到A的概率。重复两次：一次放回牌堆，一次不放回。放回牌堆后，每次抽到A的概率都是4/52（独立事件）。不放回牌堆后，牌堆会变小，概率也会改变（相关事件）。玩一局UNO也能说明同样的问题：一旦牌被放回牌堆，剩余的牌就会发生变化。目标：区分独立事件和相关事件。
引发讨论的概率谜题
6. 蒙提霍尔问题
概念： 条件概率。 9-12 年级。 三扇门，一个奖品。学生选了一扇门，你揭晓另外两扇门中一扇是“输”的，然后提出换门。他们应该换吗？换门的概率是三分之二，几乎没人相信，直到全班模拟30次并统计结果。目的：证明新信息会更新概率，直觉可能会误导。
7. 贪婪的猪
概念： 预期价值，风险下的决策。 6-9 年级。 全班同学站着。掷一颗骰子，所有人的分数累加；如果掷出1点，则所有站着的人本轮得分全部清零。玩家想要保留已有分数时可以坐下。计算方法：在未保留分数超过20分之前，再掷一次骰子是值得的；超过20分后，预期收益将变为负值。目标：运用期望值指导实际决策。
8. 这个游戏公平吗？
概念： 公平性，比较概率。 7-10 年级。 给每组玩家设定一条规则，例如“如果两个骰子的点数之和为偶数，则玩家 A 得分；如果为奇数，则玩家 B 得分”或“如果点数之和大于 12，则玩家 A 获胜”。学生们进行游戏，怀疑规则存在不公平之处，然后用样本空间证明这一点。目标：通过证据而非直觉来判断规则的公平性，然后重新设计不公平的规则以使其平衡。
9. 生日悖论
概念： 互补概率，组合。 9-12 年级。 问：需要多少人才能使两个人同一天生日的概率大于 50%？答案是 23，这让大多数班级都大吃一惊。然后看看你自己的班级：30 个学生中，这个概率大约是 70%。诀窍在于计算生日可能出现的各种不同情况，然后用 1 减去这些情况。目标：运用互补计数法得出令人惊讶的结果。
经典游戏，重新解读为概率论课程
10. 快艇
概念： 各种组合，特定结果的概率。 6-9 年级。 除了娱乐性之外，掷骰子游戏（Yahtzee）也是一个概率引擎。第一次掷骰子掷出三个相同点数的概率是多少？玩家应该保留两对点数还是追求顺子？游戏目标：估算目标结果的概率并以此做出选择。
11. 大富翁，概率版
概念： 应用分布。 7-10 年级。 因为移动取决于两个骰子的点数之和，所以有些方格被踩到的次数远多于其他方格，而且从监狱出来会吸引更多人流涌向橙色和红色区域。让学生预测哪些方格是热门区域，然后在游戏中统计踩到的次数。目标：将双骰分布应用于熟悉的棋盘上。
12。 宾果
概念： 不放回的随机抽样，比例。 4-7 年级。 随着号码被抽出且未返回，下一次叫号能让你抽到牌的概率每次都会变化。请学生在抽出10个号码前后分别估算自己抽到牌的概率。目标：推理等概率抽取结果池逐渐缩小的情况。
13. 石头剪刀布
概念： 结果等可能，事件独立。 5-8 年级。 随机博弈中，每次投掷的概率都是三分之一，而且每一轮都是独立的：昨天的胜利并不能预示今天的结果。这也为博弈论提供了一个切入点：是否存在对抗完全随机对手的制胜策略？目标：识别概率相等且相互独立的各种结果。
使用 AhaSlides 实时运行这些幻灯片
这些活动中有两个部分手动操作起来比较繁琐：生成公平的随机数，以及快速汇总所有人的结果以便进行讨论。AhaSlides 可以从教室前方轻松处理这两个部分。
- 转轮 进行随机抽签，挑选一名学生、一个数字或一种颜色，因此每次抽签对全班同学都是可见的，并且可以证明抽签过程没有作弊。
- 现场民意调查 几秒钟内即可收集实验数据。每个学生提交正面朝上的次数或骰子点数之和，条形图实时生成，全班同学当场将实验结果与理论预测进行比较。
- 测验幻灯片 将这些概念转化为计分回合，例如“掷出 7 的概率是多少？”，并设置排行榜，使公平性或期望值的辩论保持活跃。
由于答案会自动记录和绘制图表，所以你可以把时间花在推理上，而不是统计上，而汇总的班级数据正是大数定律得以实现的关键。
汇集在一起
概率论最容易教授的方式就是让学生亲眼观察它的发展过程。每个单元可以选择两到三个这样的游戏：一个热身实验，一个打破直觉的谜题，以及一个熟悉的、可以复习数学知识的游戏。每次都要明确指出概念，收集真实数据，让理论与实验之间的差距起到教学作用。
案例
Freeman, S., Eddy, SL, McDonough, M., Smith, MK, Okoroafor, N., Jordt, H., & Wenderoth, MP (2014). 主动学习提高学生在科学、工程和数学方面的表现。《美国国家科学院院刊》，111(23), 8410-8415。https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.1319030111
